Chứng minh BH//CK, BH=CK biết tam giác ABC có M là trung điểm của BC, BH vuông AM

a) Xét \(\Delta BHM;\Delta CKM\) có :

\(\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\left(=90^o-gt\right)\)

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta BHM=\Delta CKM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> \(\text{BH // KC}\left(đpcm\right)\)

Và từ \(\Delta BHM=\Delta CKM\) (cmt)

=> \(BH=CK\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta HMC;\Delta KMB\) có :

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(\widehat{HMC}=\widehat{KMB}\) (đối đỉnh)

\(HM=MK\) (do \(\Delta BHM=\Delta CKM\) -cmt)

=> \(\Delta HMC;\Delta KMB\)

=> \(\Delta HMC=\Delta KMB\) (c.g.c)

=> \(\widehat{HCM}=\widehat{KBM}\) (2 góc tương ứng)

Mà : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> \(\text{BK // CH }\left(đpcm\right)\)

Có : \(\Delta HMC=\Delta KMB\) (cmt)

=> \(BK=CH\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}HF=FC\\BE=EK\end{matrix}\right.\) (gt)

Mà : \(BK=HC\left(cmt\right)\)

=> \(HF=FC=BE=EK\)

Xét \(\Delta BEM;\Delta FCM\) có :

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(\widehat{MBE}=\widehat{MCF}\left(slt\right)\)

\(BE=FC\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BEM=\Delta FCM\left(c.g.c\right)\)

=> \(EM=FM\)(2 cạnh tương ứng)

=> M Là trung điểm của EF

Do đó : E, ,M, F thẳng hàng