Chứng minh BF=CE và BF//CE biết tam giác ABC có BM, CN cắt nhau tại G

a, Nối A với G.

Xét tam giác BNF và tam giác ANG ta có:
\(AN=BN\left(gt\right);\widehat{BNF}=\widehat{ANG}\left(d.d\right);FN=GN\left(gt\right)\)

Do đó tam giác BNF=tam giác ANG(c.g.c)

\(\Rightarrow BF=AG\left(cctu\right)\)(1)

Xét tam giác CME và tam giác AMG ta có:

\(CM=AM\left(gt\right);\widehat{CME}=\widehat{AMG}\left(d.d\right);EM=GM\left(gt\right)\)

Do đó tam giác CME= tam giác AMG(c.g.c)

\(\Rightarrow CE=AG\left(cctu\right)\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(CE=BF\)(đpcm)

b, Vì tam giác BNF = tam giác ANG(cmt); tam giác CME =tam giác AMG(cmt)

nên \(\widehat{FBN}=\widehat{GAN};\widehat{ECM}=\widehat{GAM}\)(cặp góc tương ứng)

Ta có:

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)(định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{GAN}+\widehat{GAM}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{FBN}+\widehat{ECM}=180^o\)

do \(\widehat{FBN}=\widehat{GAN};\widehat{ECM}=\widehat{GAM}\)(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{FBC}+\widehat{ECB}=180^o\)

=> BF//CE(do có 1 cặp góc bù nhau ở vị trí so le trong)(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!