Chứng minh AM vuông góc KC và BN//KC biết K là giao điểm của các đường thẳng AB và MN

Bài 1

Vì AM là tia phân giác của\(\widehat{BAC}\) ⇒ \(\widehat{BAM}=\widehat{BAC}\) hay \(\widehat{BAM}=\widehat{BAN}\)

Xét ΔAMB và ΔAMN có

AB = AN (GT)

\(\widehat{BAM}=\widehat{BAN}\left(cmt\right)\)

AM chung

⇒ (c.g.c)

⇒ MB = MN (g) (đpcm)

b, Vì ΔAMB = ΔAMN (cmt) ⇒ \(\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\) (2 góc tương ứng)

⇒ 180⁰ - \(\widehat{ABM}\) = 180⁰ - \(\widehat{ANM}\)

⇒ \(\widehat{KBM}=\widehat{CNM}\)

Xét ΔKBM và ΔCNM có

\(\widehat{KBM}=\widehat{CNM}\) (cmt)

MB = MN (cmt)

\(\widehat{BMK}=\widehat{CMN}\) (đối đỉnh)

⇒ ΔKBM = ΔCNM (g.c.g)

⇒ BK = CN (2 cạnh tương ứng)

Vì ΔKBM = ΔCNM (cmt) ⇒ MK = MC (2 cạnh tương ứng)

Vì MK = MC ⇒ M thuộc đường trung trực của KC (1)

Vì AB = AN; BK = NC

⇒ AB + BK = AN + NC

⇒ AK = AC

⇒ A thuộc trung điểm của KC (2)

Từ (1), (2) ⇒ AM là đường trung trực của KC

⇒ AM ⊥ KC (đpcm)

Vì AB = AN ⇒ ΔABN cân tại A

⇒ \(\widehat{ABN}=\widehat{ANB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAN}}{2}\)(3)

Vì AK = AC ⇒ ΔAKC cân tại A

⇒ \(\widehat{AKC}=\widehat{ACK}=\dfrac{180^0-\widehat{KAC}}{2}\) (4)

Ta có: \(\widehat{BAN}=\widehat{KAC}\) (5)

Từ (3), (4), (5) ⇒ \(\widehat{ABN}=\widehat{AKC}\) , Mà 2 góc ở vị trí đồng vị

⇒ BN // KC (đpcm)

Bạn tự vẽ hình nha!!!!