Chứng minh AI vuông góc BC biết tam giác ABC cân ở A, trên cạnh AB lấy điểm D

a) Ta có :

AD = AB - BD

AE = AC - CE

Mà BD = CE , AB = AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A ) => AD = AE

=> \(\Delta ADE\) cân taị A

=> \(\widehat{ADE}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

+ \(\Delta ABC\) cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\) Mà chúng là hai góc ở vị trí đồng vị

=> DE // BC

b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) ,có :

AB = AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A )

AE = AD ( c/m t )

\(\widehat{A}\) là góc chung

=> \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(cgc\right)\)

c) Ta có :

\(\widehat{BDI}=180^0-\widehat{ADC}\) ( 2 góc kề bù )

\(\widehat{CEI}=180^0-\widehat{AEB}\) ( 2 góc kề bù )

Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}\left(\Delta ABE=\Delta ACD\right)\)

=> \(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\)

Xét \(\Delta BID\) và \(\Delta CIE\) ,có :

BD = CE ( gt )

\(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\) ( c/m t )

\(\widehat{DBI}=\widehat{ECI}\) \(\left(\Delta ABE=\Delta ACD\right)\)

=> \(\Delta BID=\Delta CIE\left(g.c.g\right)\)

d) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) ,có :

AB = AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A )

BI = CI ( \(\Delta BID=\Delta CIE\) )

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\) ( \(\Delta BID=\Delta CIE\) )

=> \(\Delta ABI\) = \(\Delta ACI\) ( c.g.c )

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

=> AI là tia p/g của \(\widehat{A}\)

e) Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A

=> AI là đường p/g của \(\Delta ABC\) đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC\)

=> \(AI\perp BC\)

f) D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC