Chứng minh AE là phân giác góc CAD biết tam giác ABC vuông tại C

a) Xét tam giác ADE và tam giác ACE có:

AD=AC (gt)

\(\widehat{ADE}=\widehat{ACE}=90^0\)

AE: Cạnh huyền chung

Do đó: \(\Delta ADE=\Delta ACE\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{DAE}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AE là tia phân giác của \(\widehat{CAD}\)

b) Xét \(\Delta AID\) và \(\Delta AIC\) có:

AD=AC (gt)

\(\widehat{CAE}=\widehat{DAE}\) (theo câu a)

AI: Cạnh chung

Do đó: \(\Delta AID=\Delta AIC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow CI=DI\left(1\right)\\ \widehat{AID}=\widehat{AIC}\)

Ta có:

\(\widehat{AID}+\widehat{AIC}=180^0\) (2 góc kề bù)

\(hay:\widehat{AID}+\widehat{AID}=180^0\\ \Rightarrow2\widehat{AID}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{AID}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

AE là đường trung trực của CD

c) Ta có:

\(\widehat{BDE}+\widehat{EDC}=\widehat{BDC}\) (DE nằm giữa DB và DC)

Mà: \(\widehat{BDE}=90^0\left(DE\perp AB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDE}+\widehat{EDC}>90^0\\ hay:\widehat{BDC}>90^0\)

\(\Rightarrow\Delta BDC\) là tam giác tù

Xét \(\Delta BDC\) có:

\(\widehat{BDC}>\widehat{DBC}\) (t/c tam giác tù)

\(\Rightarrow CB>CD\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

d) Xét tam giác BDC có:

CI=DI (theo câu b)

\(\Rightarrow\) BI là trung tuyến

BM=CM(M là trung điểm cùa BC)

\(\Rightarrow\) DM là trung tuyến

Mà: \(BM\cap DM=\left\{G\right\}\)

\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của tam giác BDC

\(\Rightarrow\) CG là trung tuyến cắt DB tại K

\(\Rightarrow\) K là trung điểm của DB