Chứng minh 3 điểm M, E, B thẳng hàng biết tam giác ABC có góc A=90 độ, AB < AC

a/ Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta HBE\) có:

\(BA=BH\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\left(gt\right)\)

BE: Cạnh chung

=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^o\)

=> \(EH\perp BC\left(đpcm\right)\)

b/ Gọi gia điểm của AH và BE là O

XÉt \(\Delta AOB\) và \(\Delta HOB\) có:

BO: cạnh chung

\(\widehat{ABO}=\widehat{HBO}\left(gt\right)\)

BA = BH (gt)

\(\Rightarrow\Delta AOB=\Delta HOB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AO=HO\left(1\right)\)

và \(\widehat{AOB}=\widehat{HOB}\)

mà \(\widehat{AOB}+\widehat{HOB}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{HOB}=90^o\)

\(\Rightarrow BO\perp AH\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\) BE là đương trung trực của HA (đpcm)

c/ Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta BKH\) và \(\Delta BCA\) có:

BH = BA (gt)

\(\widehat{B}:chung\)

\(\Rightarrow\Delta BKH=\Delta BCA\left(cgv-gnk\right)\)

\(\Rightarrow BK=BC\)

Xét \(\Delta BKE\) và \(\Delta BCE\) có:

BE: cạnh chung

\(\widehat{KBE}=\widehat{CBE}\left(gt\right)\)

BK = BC (cmt)

\(\Rightarrow\Delta BKE=\Delta BCE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow EK=EC\left(đpcm\right)\)

d/ Vì BH = BA(gt) \(\Rightarrow\Delta BAH\) cân

Lại có: BK = BC(đã cm) \(\Rightarrow\Delta BKC\) cân

mà \(\widehat{B}:chung\)

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{BKC}=\widehat{BHA}=\widehat{BCK}\)

mà \(\widehat{BAH}\) và \(\widehat{BCK}\) nằm ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow\) AH // CK (đpcm)

e/ muộn r`, hướng dẫn cách làm:

chứng minh t/g BKM = t/g BCM

=> BM là tia p/g góc B

mà BE cũng là tia p/g góc B

=> M,E,B thẳng hàng