Cho biết \(a, b ∈ Z, b> 0\). So sánh hai số hữu tỉ \(\displaystyle {a \over b}\) và \(\displaystyle {{a + 2001} \over {b + 2001}}\)

Ta có: \(a(b +2001) = ab + 2001a\)

           \(b(a +2001)=ab + 2001b\)

Vì \(b >0\) nên \(b + 2001 > 0\).

* Nếu \(a > b\) thì \(2001a > 2001b\)

\(\Rightarrow ab + 2001a > ab + 2001b\)

\(\Rightarrow a\left( {b + 2001} \right) > b\left( {a + 2001} \right) \)

Chia cả hai vế cho \(b.(b+2001)>0\) ta được: 

\(\dfrac{{a\left( {b + 2001} \right)}}{{b\left( {b + 2001} \right)}} > \dfrac{{b\left( {a + 2001} \right)}}{{b\left( {b + 2001} \right)}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle {a \over b} > {{a + 2001} \over {b + 2001}}\)

* Nếu \(a < b\) thì \(2001a < 2001b\)

\(\Rightarrow ab + 2001a < ab + 2001b \)              

\(\Rightarrow a\left( {b + 2001} \right) < b\left( {a + 2001} \right)\)

Chia cả hai vế cho \(b.(b+2001)>0\) ta được: 

\(\dfrac{{a\left( {b + 2001} \right)}}{{b\left( {b + 2001} \right)}} < \dfrac{{b\left( {a + 2001} \right)}}{{b\left( {b + 2001} \right)}}\) 

\(\displaystyle \Rightarrow {a \over b} < {{a + 2001} \over {b + 2001}}\)

* Nếu \(a = b\) thì \(a+2001 = b+2001\)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} = 1;\dfrac{{a + 2001}}{{b + 2001}} = 1\)

\(\displaystyle \Rightarrow{a \over b} = {{a + 2001} \over {b + 2001}}\,(=1)\).