-
Câu hỏi:
Xét tất cả các số thực x, y sao cho \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) với mọi số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y\) bằng
-
A.
-5
-
B.
-20
-
C.
-15
-
D.
25
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Giả sử x, y thỏa \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) với mọi số thực dương a.
Ta có \(P = {x^2} + {y^2} - 4x + 8y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 8y - P = 0\)
Suy ra điểm M (x;y) thuộc đường trồn tâm I(2;-4) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + P} = \sqrt {20 + P} \)
\({25^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}}}^{{a^3}} \Leftrightarrow \left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - {{\log }_3}{a^3}} \right){\log _3}a \Leftrightarrow \left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - 3{{\log }_3}a} \right){\log _3}a\)
Đặt \(t = {\log _3}a,t \in R\)
Suy ra \(\left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - 3t} \right)t \Leftrightarrow - 3{t^2} + 6xt - 15 + 3{y^2} \le 0\)
Theo đề bài ta có \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) đúng với mọi số thực đương a nên \( - 3{t^2} + 6xt - 15 + 3{y^2} \le 0\) đúng với mọi t \(\in\) R
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}
- 3 < 0\\
{\left( {3x} \right)^2} + 3\left( { - 15 + 3{y^2}} \right) \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 9{x^2} + 9{y^2} - 45 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 5\)Suy ra tập hợp các điểm M (x; y) là hình tròn tâm O (0;0) và bán kính \({R_2} = \sqrt 5 \).
Vậy để tồn tại cặp (x;y) thì đường tròn (I; \({R_2}\)) và hình tròn (O; \(\sqrt 5 \)) ) phải có điểm chung,
Do đó \(IO \le {R_1} + \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \le \sqrt {20 + P} + \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt 5 \le \sqrt {20 + P} \Leftrightarrow P \ge - 15\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -15
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Nếu \(\int\limits_{0}^{3}{f(x)d}x=6\) thì \(\int\limits_{0}^{3}{\left[ \frac{1}{3}f(x) \right]d}x\) bằng
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y = 1 là
- Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
- Hàm số F(x) = cotx là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đâu trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)?
- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phgương trình:
- Phần áo của số phức z = (2 - i)(1 + i) bằng
- Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5, đáy ABC có diện tích bằng 6. Thể tích khối chóp. S.ABC bằng:
- Số nghiệm thực của phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+1}}=4\) là:
- Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4\). Tâm của (S) có toạ độ là
- Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có toạ độ là:
- Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-4;0 \right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left( -1;-2;1 \right)\). Vectơ \(\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\) có toạ độ là:
- Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\) là:
- Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và công bội q = 2. Số hạng tổng quát \({{u}_{n}}\left( n\ge 2 \right)\) bằng
- Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt là \(V_1, V_2\). Tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\) bằng
- Nghiệm của phương trình \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 2\text{x}-1 \right)=0\) là
- Với a là số thực dương tuỳ ý, log(100a) bằng
- Từ các chữ số 1, 2, 3 4, 5 lập được bao nh số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một klhác nhau?
- Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 2 + 7i có tọa độ là
- Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w = 1 - 4i?
- Cho \(a={{3}^{\sqrt{5}}},b={{3}^{2}}\) và \(c={{3}^{\sqrt{6}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị là đường cong hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
- Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R). Khẳng định nào dưới đây đúng?
- Cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{3}\) Điểm nào dưới đây thuộc d?
- Cho khối nón có diện tích đáy \(3{{a}^{2}}\) và chiều cao 2a. Thể tích của khối nón đã cho bằng
- Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là:
- Nếu \(\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=2\) và \(\int\limits_{2}^{5}{f(x)dx}=-5\) thì \(\int\limits_{-1}^{5}{f(x)dx}\) bằng
- Cho hàm số sau y = f(x) có bảng biến thiên như sau:Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A') bằng
- Với a, b là các số thực dương tùy ý ý và \(a\ne 1,{{\log }_{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{b}^{3}}}\) bằng
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=x+1\) với mọi \(x\in R\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- Gọi \({z_1},{\rm{ }}{z_2}\) là hai nghiệm phức của chương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0\). Khi đó \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng
- Cho hàm số \(f\left( x \right)=1+{{e}^{2x}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
- Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; -2; 1) và mặt phẳng \((P):2x-3y-z+1=0\). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là:
- Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình bên). Gía trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng
- Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng x - 2y + 2z + 3 = 0 là:
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2;5] của tham số m để phương trình f(x) = m có 2 nghiệm thực phân biệt?
- Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn [30;50]. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
- Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thảo mãn \(({4^b} - 1)(a{.3^{b\;\;}} - 10) < 0\)?
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + 2\left( {a + 4} \right){x^2}--1\) với a là tham số thực. Nếu \(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\) thì \(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\) bằng
- Biết F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên R và \(\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=F(4)-G(0)+a}\) (a > 0).
- Cho các số phức \({{Z}_{1}},{{Z}_{2}},{{Z}_{3}}\) thỏa mãn \(2\left| {{Z}_{1}} \right|=2\left| {{Z}_{2}} \right|=\left| {{Z}_{3}} \right|=2\)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?
- Xét tất cả các số thực x, y sao cho \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) với mọi số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y\) bằng
- Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{Z}^{2}} \right|=\left| Z-\overline{Z} \right|\) và \(\left| \left( Z-2 \right)\left( \overline{Z}-2i \right) \right|={{\left| Z+2i \right|}^{2}}\)?
- Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120° và chiều cao bằng 3. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của (S) bằng
- Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên \(\text{AA}'=2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \text{A}'BC \right)\) và (ABC) bằng 30%. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
- Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 2) Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Phương trình của (P) là
- Có bao nhiều giá trị nguyên âm của tham số a để hàm số \(y=\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|\) có đúng ba điểm cực trị?
- Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I (9; 3; 1) bán kính bằng 3. Gọi M, N là bài điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kinh bằng \(\frac{13}{2}\).
