Ta có: 

\(lo{g_{{x^2} + {y^2} + 3}}\;\left( {2x + 2y\; + 5{\rm{ }}} \right)\; \ge \;1\;\)⇔ \(2x + 2y + 5{\rm{ }} \ge {x^2} + y{\;^2} + \;3\;\)⇔ \({x^2} + {y^2}\; - 2x - 2y\; - 2 \le \;0\left( 1 \right)\;\)

⇒ Tập hợp các cặp số thực ( x,y ) thỏa mãn \(lo{g_{{x^2} + {y^2} + 3}}\;\left( {2x + 2y\; + 5{\rm{ }}} \right)\; \ge \;1\;\) là hình tròn \(\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2}\; - 2x - 2y - 2 = 0\) (tính cả biên). 

Xét \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = m.\;\)

TH1: \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y\; = - 3\; \end{array} \right.\), không thỏa mãn (1). 

TH2: m >0 , khi đó tập hợp các cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2}\; + 4x + 6y + 13 - m = 0.\;\)

Để tồn tại duy nhất cặp số thực ( x;y ) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hai đường tròn (C₁) và (C₂) tiếp xúc ngoài với nhau hoặc hai đường tròn (C₁) và (C₂) tiếp xúc trong và đường tròn (C₂) có bán kính lớn hơn đường tròn (C₁). 

(C₁) có tâm I₁(1;1) bán kính R₁ = 2

(C₂) có tâm I₂(-2;-3) bán kính \({R_2} = \sqrt m \left( {m > 0} \right).\;\)

Để (C₁) và (C₂) tiếp xúc ngoài thì \({I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\;\)

⇔ \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + \left( { - 4} \right){\;^2}} = 2\; + \sqrt m \;\;\)

⇔ \(5 = 2 + \sqrt m \Leftrightarrow m = \;9\;\left( {tm\;} \right)\;\)

Để đường tròn (C₁) và (C₂) tiếp xúc trong và đường tròn (C₂) có bán kính lớn hơn đường tròn (C₁). 

⇒ \({R_2} - {R_1} = \;{I_1}{I_2}\) ⇔\(\sqrt m - 2 = \sqrt {\left( { - 3} \right){\;^2} + \;{4^2}} \) ⇔m = 49 ( tm ) 

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.