-
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\), điểm M(1;1;2) và mặt phẳng \((P):x + y + z - 4 = 0\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng \(\Delta\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u (1;a;b)\), tính T = a - b
-
A.
T = -2
-
B.
T = 1
-
C.
T = -1
-
D.
T = 0
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
.png)
Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = 3Ta thấy điểm \(M \in (P)\) và \(OM = \sqrt 6 < R\) nên mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) tâm H. Suy ra \(OH \bot (P).\)
Từ giả thiết, ta có \(\Delta\) đi qua M và cắt đường trong (C) tại hai điểm A, B \((do{\rm{ }}\Delta \subset (P))\).
Gọi K là trung điểm của AB, nên \(HK \bot AB\) và AB nhỏ nhất khi và chỉ khi HK lớn nhất.
Mà \(\Delta HKM\) vuông tại K nên \(HK \le HM = const,\) hay \(H{K_{\max }} = HM \Rightarrow K \equiv M.\)
Vậy \(A{B_{\min }}\) khi \(K \equiv M(1;1;2).\) Khi đó đường thẳng \(\Delta\) đi qua M(1;1;2), có vtcp \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ,\overrightarrow {HM} } \right].\)
Phương trình OH đi qua O, vec-tơ chỉ phương
\(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (1;1;1):\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = t\\ z = t \end{array} \right.,(t \in R).\)
Do \(\left\{ H \right\} = OH \cap (P)\) nên \(H\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow HM = \left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right).\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {HM} } \right] = (1; - 1;0) = \overrightarrow u .\)
Vậy \(a = - 1,b = 0 \Rightarrow T = a - b = - 1.\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm M(1;0;0), N(0;1;0), P(0;0;1), Q(1;1;1). Tìm tọa độ tâm I.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Mệnh đề nào đúng?
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-2;3) và B(5;4;7). Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:
- Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng .
- Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu: .
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3;1;4). Mặt cầu (S) đường kính AB có phương trình là:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) và cắt mặt phẳng theo một đường tròn có chu vi bằng . Phương trình mặt cầu (S) là:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm . Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) đi qua điểm A(1;0;4) có phương trình là:
- Cho hai điểm . Phương trình của mặt cầu (S) đường kính AB là:
- Cho mặt cầu và đường thẳng . Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và tại B vuông góc với nhau.
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và bán kính R = 2 có phương trình:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Tìm m để và (S) không có điểm chung.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và 2 mặt phẳng (P) và (Q)
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có bán kính R = 5. Tìm giá trị của m.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng , .
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;1).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Tìm số thực m để cắt (S) theo một đường tròn có chu vi bằng .
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại H. Tìm tọa độ H.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(-1;3;2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x + 2y + z + 3 = 0.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm và C(0;0;-2). Gọi D là điểm khác O sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tính S = a + b + c.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm và D(-1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng .
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục Ox. Phương trình mặt cầu (S) là:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu , điểm M(1;1;2) và mặt phẳng .
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và hai đường thẳng , . Phương trình nào dưới đâu là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với (S), song song với d và ?
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng như sau (d:frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z - 2}}{2}), điểm A(2;5;3).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng .
- Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B(-2;2;3). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB?
- Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\,(2;0;-2);\,\,B\,(3;-1;-4);\,\,C\,(-2;2;0).\) Điểm D nằm trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm
- Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\,(1;0;3);\,\,B\,(-1;2;1);\,\,C\,(0;1;4).\) Biết \(H({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(P={{x}_{o}}-{{y}_{o}}.\)
- Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm \(A\,(1;1;1);\,\,B\,(-1;7;-3);\,\,C\,(2;1;0).\) Tìm điểm D thuộc Oz sao cho bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
- Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm \(A\,(m-1;m;2m-1);\,\,B\,(-1;0;2);\,\,C\,(-1;1;0);\,\,D\,(2;1;-2).\) Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng \(\frac{5}{6}\). Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
- Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm \(A\,(1;1;1),\,\,B\,(-1;7;-3),\,\,C\,(m+1;m;0).\) Biết diện tích tam giác ABC bằng \(3\sqrt{3}.\) Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1
- Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm \(A\,(0;1;1);\,\,B\,(-1;0;2);\,\,C\,(-1;1;1);\,\,D\,(1;4;7).\) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:
- Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\,(3;1;-1);\,\,B\,(1;0;2);\,\,C\,(5;0;0).\) Tính diện tích tam giác ABC.
- Cho 2 vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) biết \(\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{2};\,\,\,\left| \overrightarrow{v} \right|=3.\)
- Cho 3 vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;x;-1);\,\,\,\overrightarrow{v}=(0;2;1);\,\,\,\overrightarrow{w}=(x;7;2).\) Tìm x biết rằng \(\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{w}=0.\)
- Cho 2 vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;2;-1)Cho 2 vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;2;-1);\,\,\overrightarrow{v}=(1;-3;x).\) Tìm x biết rằng \(\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right] \right|=\sqrt{30}.\);\,\,\overrightarrow{v}=(1;-3;x).\) Tìm x biết rằng \(\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right] \right|=\sqrt{30}.\)
