Gọi \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vì \(I\in \left( P \right)\) nên \(x+2y+z=7\left( 1 \right)\)

Mặt khác, \(\left( S \right)\) đi qua A và B nên \(IA=IB\text{ }\left( =R \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow x+3y+2z=16 \left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra I nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( P \right):x + 2y + z = 7\\ \left( Q \right):x + 3y + 2z = 16 \end{array} \right.\) (I)

\(\Rightarrow d\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\,;\,\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1\,;\,-1\,;\,1 \right)\), với \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right)\) và \(\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1\,;\,3\,;\,2 \right)\).

Mặt khác, cho z=0 thì \(\left( I \right)\) trở thành: \(\left\{ \begin{align} & x+2y=7 \\ & x+3y=16 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-11 \\ & y=9 \\ \end{align} \right.\).

\(\Rightarrow d\) đi qua điểm \(B\left( -11\,;\,9\,;\,0 \right)\).

Do đó, d có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{align} & x=-11+t \\ & y=9-t \\ & z=t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\).

\(\Rightarrow I\left( -11+t\,;\,9-t\,;\,t \right)\).

\(\Rightarrow R=IA=\sqrt{{{\left( t-12 \right)}^{2}}+{{\left( 7-t \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{t}^{2}}-40t+194}\).

Đặt \(f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-40t+194, t\in \mathbb{R}\).

Vì \(f\left( t \right)\) là hàm số bậc hai nên \(\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{20}{3} \right)=\frac{182}{3}\).

Vậy \({{R}_{\min }}=\sqrt{\frac{182}{3}}=\frac{\sqrt{546}}{3}\).