-
Câu hỏi:
Giả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) bằng
-
A.
\(20 - 4\sqrt {21} \)
-
B.
\(20 - 4\sqrt {22} \)
-
C.
\(5 - \sqrt {22} \)
-
D.
\(5 - \sqrt {21} \)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
.jpg.png)
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in \mathbb{R}\).Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\). Suy ra \(AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\).
* Ta có \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right) =\left[ \left( x-6 \right)+yi \right].\left[ \left( 8-y \right)-xi \right] =\left( 8x+6y-48 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i\). Theo giả thiết \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực nên ta suy ra \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0\). Tức là các điểm A,B thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính R=5.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}\)
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có \(HA=HB=\frac{AB}{2}=2\) và \(MA=\frac{3}{4}AB=3 \Rightarrow HM=MA-HA=1\).
Từ đó \(H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21, IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}\), suy ra điểm M thuộc đường tròn \(\left( {{C}'} \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính \(r=\sqrt{22}\)
* Ta có \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM\), do đó \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có \(O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22}\)
Vậy \({{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22}\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?
- Cho 4 điểm \(A\left( -2;-1;3 \right), B\left( 2;3;1 \right), C\left( 1;2;3 \right), D\left( -4;1;3 \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+3z-6=0\)?
- Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng \(4\pi a\) và độ dài đường cao bằng a là
- Nếu \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x=2}\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{3f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
- Đồ thị sau đây là đt của hàm số nào?
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng có véc tơ chỉ phương là
- Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1\,;\,-2\,;\,0 \right); B\left( 3\,;\,2\,;\,-8 \right)\). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
- Cho csc \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
- Cho hai số phức \({{z}_{1}}\,=\,\,2\,-\,\,2\,i, {{z}_{2}}\,=\,\,-3\,+\,\,3\,i\). Khi đó \({{z}_{1}}\,-\,\,{{z}_{2}}\) bằng
- Hàm số nào trog các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(y={{x}^{2019}}?\)
- Trong mặt phẳg cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
- Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-3}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
- Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức \(z=1+3i?\)
- Nghiệm của phương trình \({{2}^{x}}=3\).
- Cho a là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức \(P={{a}^{\frac{4}{3}}}\sqrt{a}\) bằng
- Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết AB,AC,AD đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng 2,3,4.
- Tính thể tích V của khối nón có chiều cao h=a và bán kính đáy \(r=a\sqrt{3}\).
- Cho hàm số \(f\left( x \right)={{\text{e}}^{2x+1}}\). Ta có \(f'\left( 0 \right)\) bằng
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và \(I\left( 1;2;3 \right).\) Phương trình của mặt cầu tâm I và đi qua A là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( 2x+3 \right),\,\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(3\log a+2\log b=1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Cho số phức \(z=a+bi\,\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(3z-\left( 4+5i \right)\overline{z}=-17+11i.\) Tính ab.
- Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oz có phương trình là
- Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình \({{\log }_{2}}x=m\) có nghiệm là
- Tính thể tích V của khối lăg trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.
- Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{{{2}^{2018x}}}\text{d}x\).
- Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+3\text{x}}}\le 16\) là
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
- Tìm các số thực x và y thỏa mãn \(x+2y+\left( 2x-2y \right)i=7-4i\)
- Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 bông hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 bông từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ. Xác suất để 7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly là:
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\) bằng
- Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+1\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
- Biết đường thẳng y=3x+1 cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2{{x}^{2}}-2x+3}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt A,B. Tính độ dài đoạn thẳng AB?
- Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với \(A,\text{ }B,\text{ }C\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \(1-2i,\text{ }3-i,\text{ }1+2i\) Điểm D là điểm biểu diễn của số phức z nào sau đây?
- Hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2x-1}\) là
- Cho hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P). Xét các điểm A, B thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \(\frac{9}{4}\). Gọi \(x_{1}^{{}},\,x_{2}^{{}}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \({{(x_{1}^{{}}+\,x_{2}^{{}})}^{2}}\) bằng :
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và hai đường thẳng , . Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 là
- Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB=4m, giá trồng hoa là 200.000đ/\({{m}^{2}}\), giá trồng cỏ là 100.000đ/\({{m}^{2}}\), mỗi cây cọ giá 150.000đ. Hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó.
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{x}^{2}}+2x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\).
- Thể tích V của khối hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) biết \(AB=a,\,\,AD=2a,\,\,A{C}'=a\sqrt{14}\) là
- Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}dx}=\frac{a}{4}-4\ln \frac{4}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của a+b bằng
- S là tập tất cả các số nguyên dươg của tham số m sao cho bất phương trình \({{4}^{x}}-m{{2}^{x}}-m+15>0\) có nghiệm đún
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và khôg có cực trị, đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \righ
- Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\in \mathbb{Z}\) và phương trình \({{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2}\) có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.
- Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+z-7=0\) và đi qua hai điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right), B\left( 2\,;\,5\,;\,3 \right)\). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-2017 \right)+2018 \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
- Giả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) bằng
