Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với AB.

Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB.

Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right).\)

Đặt R,r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Ta có \(AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{36}=6\Rightarrow R=\frac{1}{2}AB=3.\)

Gọi h là chiều cao hình trụ \(\left( h>3 \right)\Rightarrow IH=h-3\)

\(\Rightarrow r=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( h-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{-{{h}^{2}}+6h}.\)

⇒ Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .\left( -{{h}^{2}}+6h \right).h=\frac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( 6-h \right).\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({{h}^{2}}\left( 6-h \right)=\frac{1}{2}h.h.\left( 12-2h \right)\le \frac{1}{2}.{{\left( \frac{h+h+12-2h}{3} \right)}^{3}}=32.\)

\(\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}\le \frac{1}{3}\pi .32=\frac{32\pi }{3}.\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow h=12-2h=h=4\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\)

\( \Rightarrow \left( {{x_H} - 2;{y_H} - 1;{z_H} - 3} \right) = \frac{2}{3}\left( {4;4;2} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_H} - 2 = \frac{8}{3}\\ {y_H} - 1 = \frac{8}{3}\\ {z_H} - 3 = \frac{4}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{14}}{3}\\ {y_H} = \frac{{11}}{3}\\ {z_H} = \frac{{13}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{11}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\)

⇒ Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón đi qua \(H\left( \frac{14}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow{n} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón:

\(2\left( x-\frac{14}{3} \right)+2\left( y-\frac{11}{3} \right)+1\left( z-\frac{13}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0.\)