Hình chóp tam giác đều ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a.

Góc giữa AB với đáy là \(\alpha\)

Gọi O là tâm của đáy, H là trung điểm của CD.

Ta có: 

\(\begin{array}{l} AO = AB.\sin \alpha = b\sin \alpha \\ BO = AB.\cos \alpha = b\cos \alpha \\ BH = \frac{3}{2}BO = \frac{3}{2}b\cos \alpha \\ BC = \frac{{BH}}{{\sin {{60}^0}}} = b\cos \alpha \sqrt 3 \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}CD.BH = \frac{1}{2}BC.BH = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{b^2}{\cos ^2}\alpha \\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{2}AO.{S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \end{array}\)