Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 0 \)

\(\Rightarrow \) Đồ thị có TCN: \(y=0\)

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận \(\Rightarrow \) đồ thị hàm số chỉ có 1 TCĐ.

Xét phương trình \(g(x)={x^2} - 2x + m = 0\,\,\left( 1 \right)\). Ta có: 

\(\Delta ' = 1 - m\)

TH1: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khác - 1.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' = 1 - m = 0}\\
{g\left( { - 1} \right) = 3 + m \ne 0}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1}\\
{m \ne  - 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 1}
\end{array}\)

TH2: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng - 1

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' > 0}\\
{g\left( { - 1} \right) = 3 + m = 0}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < 1}\\
{m =  - 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m =  - 3}
\end{array}\)

Vậy tổng các giá trị của m cần tìm là \(1+(-3)=-2\)

Chọn đáp án A.