Ta có hình vẽ: 

Phương trình dao động của một điểm M nằm trên đường trung trực là: \(u=2A\cdot \cos 2\pi \left( ft-\frac{{{d}_{1}}+{{d}_{2}}}{2\lambda } \right)\)

Với d1; d2 là khoảng cách từ điểm ta xét đến hai nguồn. 

Các điểm nằm trên đường trung trực đều dao động với biên độ cực đại (vì hai nguồn cùng pha, cùng biên độ). 

Để M và I dao động cùng pha thì: \(2\pi \frac{{{d}_{AM}}+{{d}_{RM}}}{2\lambda }=2\pi \frac{{{d}_{At}}+{{d}_{BI}}}{2\lambda }+k2\pi \)

Vì M gần nhất, cách I một khoảng \(4\sqrt{5}~\text{cm}\), ứng với k =1, ta có:

\(2\pi \frac{{{d}_{AM}}+{{d}_{BM}}}{2\lambda }=2\pi \frac{{{d}_{AI}}+{{d}_{B}}}{2\lambda }+2\pi \Leftrightarrow \frac{2\left( \sqrt{I{{A}^{2}}+I{{M}^{2}}} \right)}{2\lambda }=\frac{AB}{2\lambda }+2\pi \)

\(\Leftrightarrow \frac{2\cdot \sqrt{{{8}^{2}}+{{(4\sqrt{5})}^{2}}}}{2\lambda }=\frac{16}{2\lambda }+1\Leftrightarrow \lambda =4,0~\text{cm}\)

Số điểm dao động cực tiểu nằm trên AB bằng số giá trị k nguyên thõa mãn: 

\(\frac{-AB}{\lambda }-\frac{1}{2}\le k\le \frac{AB}{\lambda }-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-16}{4}-\frac{1}{2}\le k\le \frac{16}{4}-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow -4,5\le k\le 3,5\Rightarrow k=-4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\)

Điểm N nằm trên nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại A, dao động với biên độ cực tiểu, gần A nhất thì nằm trên hyperbol cực tiểu có bậc cao nhất về phía A, tức là k = -4

Điều kiện để N là dao động cực tiểu là: 

\({{d}_{AN}}-{{d}_{BM}}=\left( k+\frac{1}{2} \right)\lambda \Rightarrow AN-\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\left( -4+\frac{1}{2} \right)\lambda \)

\(\Leftrightarrow AN-\sqrt{A{{N}^{2}}+{{16}^{2}}}=-3,5.4,0=-14\Rightarrow AN=2,14~\text{cm}\)