Do mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có 1 đáp án đúng nên xác suất để trả lời đúng 1 câu là 1/4 và xác suất để trả lời sai 1 câu là 3/4.

Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}}\)

Xét khai triển \(1 = {\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)^{25}} = \sum\limits_{k = 0}^{25} {C_{25}^k{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^k}{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{25 - k}}} \)

Giả sử \({A_k} = C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}}\) là số hạng lớn nhất trong khai triển trên ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{A_k} > {A_{k - 1}}\\
{A_k} > {A_{k + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}} > C_{25}^{k - 1}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{k - 1}}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{26 - k}}\\
C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}} > C_{25}^{k + 1}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{k + 1}}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{24 - k}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{25!}}{{k!\left( {25 - k} \right)!}}\frac{1}{4} > \frac{{25!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {26 - k} \right)!}}\frac{3}{4}\\
\frac{{25!}}{{k!\left( {25 - k} \right)!}}\frac{3}{4} > \frac{{25!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {24 - k} \right)!}}\frac{1}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{k} > \frac{3}{{26 - k}}\\
\frac{3}{{25 - k}} > \frac{1}{{k + 1}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{26 - k - 3k}}{{k\left( {26 - k} \right)}} > 0\\
\frac{{3k + 3 - 25 + k}}{{\left( {25 - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k < \frac{{26}}{4}\\
k > \frac{{22}}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{22}}{4} < k < \frac{{26}}{4},k \in Z \Rightarrow k = 6
\end{array}\)