Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}
{x^3} - 3m{x^2} + 6mx - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - 3mx\left( {x - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {{x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 4} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
g\left( x \right) = {x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 4 = 0{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = {\left( {2 - 3m} \right)^2} - 16 > 0\\
g\left( 2 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{m^2} - 12m - 12 > 0\\
4 + 4 - 6m + 4 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < \frac{{ - 2}}{3}
\end{array} \right.\\
m \ne 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < \frac{{ - 2}}{3}
\end{array} \right.\)

Giả sử \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*). Áp dụng định lí Vi-ét ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 3m - 2\\
{x_1}{x_2} = 4
\end{array} \right.\)

TH1: \({x_1},{x_2},2\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Rightarrow 2{x_1} = x_2^2\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x_2^2}}{2} + {x_2} = 3m - 2\\
\frac{{x_2^2}}{2}{x_2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2\\
4 = 3m - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\)

TH2: \({x_1},2,{x_2}\)  theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 4\)  (luôn đúng với mọi m > 2 hoặc \(m < \frac{{ - 2}}{3}\))

TH3: \(2;{x_1};{x_2}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân, tương tự TH1 ta tìm được m = 2 (ktm).

Vậy kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left[ { - 5;\frac{{ - 2}}{3}} \right) \cup \left( {2;5} \right] \Rightarrow \) có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.