-
Câu hỏi:
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\
{x^2}y + {x^2} - 2x - 12 = 0
\end{array} \right.\,\,\)2) Giải phương trình \((x - 3)\sqrt {1 + x} - x\sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 6x - 3\).
3) Giải bất phương trình \({x^3} + (3{x^2} - 4x - 4)\sqrt {x + 1} \le 0\).
Lời giải tham khảo:
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{x^2}y + {x^2} - 2x - 12 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\,\,\)\(\begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\
\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 3(x - y) = 3({x^2} + {y^2}) + 2\\
\Leftrightarrow {x^3} - {y^3} + 3(x - y) = 3{x^2} + 3{y^2} + 2
\end{array}\)\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1\\
\Leftrightarrow {(x - 1)^3} = {(y + 1)^3} \Leftrightarrow x - 1 = y + 1 \Leftrightarrow y = x - 2
\end{array}\)Thế \(y = x - 2\) vào phương trình (2) ta có \({x^2}(x - 2) + {x^2} - 2x - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2x - 12 = 0\).
\( \Leftrightarrow (x - 3)({x^2} + 2x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 1\)
Vậy hệ có nghiệm là (3;1)
2) Giải phương trình \((x - 3)\sqrt {1 + x} - x\sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 6x - 3\) (1)
Điều kiện \( - 1 \le x \le 4\).
Phương trình \((1) \Leftrightarrow (x - 3)(\sqrt {1 + x} - 1) - x(\sqrt {4 - x} - 1) = 2{x^2} - 6x\)
\(\begin{array}{l}
(x - 3)\frac{x}{{\sqrt {1 + x} + 1}} - x\frac{{3 - x}}{{\sqrt {4 - x} + 1}} = 2{x^2} - 6x\\
\Leftrightarrow x(x - 3)\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + x} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x(x - 3) = 0\\
\frac{1}{{\sqrt {1 + x} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} = 2\quad (2)
\end{array} \right.\quad
\end{array}\)\(x(x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 3\) (thỏa mãn điều kiện)
Với điều kiên \( - 1 \le x \le 4\) ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 + x} + 1 \ge 1\\
\sqrt {4 - x} + 1 \ge 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt {1 + x} + 1}} \le 1\\
\frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} \le 1
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {1 + x} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} \le 2\). Dấu " = " không xảy ra nên phương trình (2) vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 3.
3) Giải bất phương trình \({x^3} + (3{x^2} - 4x - 4)\sqrt {x + 1} \le 0\) (1)
Điều kiện \(x \ge - 1\).
\(\begin{array}{l}
{x^3} + (3{x^2} - 4x - 4)\sqrt {x + 1} \le 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2}\sqrt {x + 1} - 4(x + 1)\sqrt {x + 1} \le 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2}\sqrt {x + 1} - 4{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} \le 0\quad (2)
\end{array}\)Xét x = - 1, thay vào (2) thỏa mãn.
Xét \(x > - 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} > 0\). Chia hai vế của (2) cho \({\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3}\) ta được bất phương trình \({\left( {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)^3} + 3{\left( {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)^2} - 4 \le 0\).
Đặt \(t = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}\), ta có bất phương trình \({t^3} + 3{t^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow (t - 1){(t + 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow t \le 1\)
\(\begin{array}{l}
t \le 1 \Rightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} \le 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \ge x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 1 < x < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x + 1 \ge {x^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 1 < x < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} - x - 1 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 1 < x < 0\\
0 \le x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow - 1 < x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)Kết hợp x = - 1 là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình \(\left[ { - 1;\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng \(({d_m}):y = x + m\) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2\)
- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ {x^2}y + {x^2} - 2x - 12 = 0 \end{array} \right.\,\,\)
- Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {NB{\kern 1pt} {\kern 1pt} } - 3\overrightarrow {NC{\kern 1pt} {\kern 1pt} } = \overrightarrow {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \). Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số \(\frac{{PA}}{{PC}}\).
- Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
- Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\)