1)

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt \(\overrightarrow {AP}  = k\overrightarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {GP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AG}  = k\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \left( {k - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{7}{6}\overrightarrow {AC}  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \)

Ba điểm G, P, N thẳng hàng nên hai vectơ \(\overrightarrow {GP} ,\overrightarrow {GN} \) cùng phương. Do đó \(\frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{5}{6}}} \Leftrightarrow \frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow k - \frac{1}{3} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow k = \frac{4}{5} \Rightarrow \overrightarrow {AP{\kern 1pt} }  = \frac{4}{5}\overrightarrow {AC{\kern 1pt} } \)

\( \Rightarrow AP = \frac{4}{5}AC \Rightarrow \frac{{PA}}{{PC}} = 4\)

2)

Đặt \(S = {S_{ABC}}\) thì từ giả thiết suy ra

      \(\begin{array}{l}
{S_{EAK}} + {S_{KBH}} + {S_{HCE}} = \frac{3}{4}S\\
 \Rightarrow \frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{{S_{EAK}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}AE.AK\sin A}}{{\frac{1}{2}AB.AC\sin A}} = \frac{{AE}}{{AB}}.\frac{{AK}}{{AC}} = \cos A.\cos A = {\cos ^2}A\\
\frac{{{S_{KBH}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}BK.BH.\sin B}}{{\frac{1}{2}AB.BC\sin B}} = \frac{{BK}}{{BC}}.\frac{{BH}}{{AB}} = \cos B.\cos B = {\cos ^2}B\\
\frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}CH.CE.\sin C}}{{\frac{1}{2}AC.BC\sin C}} = \frac{{CH}}{{AC}}.\frac{{CE}}{{BC}} = \cos C.\cos C = {\cos ^2}C\\
\frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = \frac{3}{4}\\
 \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}A + 1 - {\sin ^2}B + 1 - {\sin ^2}C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{9}{4}
\end{array}\)

3) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
x - 7y + 5 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.\). Vậy A(2;1).

Phương trình các đường phân giác của góc A là \(\frac{{x + y - 3}}{{\sqrt 2 }} =  \pm \frac{{x - 7y + 5}}{{5\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}
x + 3y - 5 = 0\\
3x - y - 5 = 0
\end{array} \right.{\rm{  }}\begin{array}{*{20}{c}}
{({d_1})}\\
{({d_2})}
\end{array}\)

Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao.

Xét trường hợp \(d_1\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

Phương trình đường thẳng BC là \(3x - y + 7 = 0\).

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
3x - y + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y = 4
\end{array} \right. \Rightarrow B( - 1;4)\) .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 7y + 5 = 0\\
3x - y + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{{11}}{5}\\
y = \frac{2}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).  

\(\overrightarrow {MB}  = ( - 2; - 6),\overrightarrow {MC}  = \left( { - \frac{{16}}{5}; - \frac{{48}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC}  = \frac{8}{5}\overrightarrow {MB}  \Rightarrow M\) nằm ngoài đoạn BC. Trường hợp này không thỏa mãn.

Nếu \(d_2\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

Phương trình đường thẳng BC là \(x + 3y - 31 = 0\).

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
x + 3y - 31 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 11\\
y = 14
\end{array} \right. \Rightarrow B( - 11;14)\) .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 7y + 5 = 0\\
x + 3y - 31 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{101}}{5}\\
y = \frac{{18}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)\)  .

\(\overrightarrow {MB}  = ( - 12;4),\overrightarrow {MC}  = \left( {\frac{{96}}{5}; - \frac{{32}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC}  =  - \frac{8}{5}\overrightarrow {MB}  \Rightarrow M\) thuộc đoạn BC.

Vậy \(A(2;1),B( - 11;14),C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)\).