Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^3} + 8}  = \sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}  \le \frac{{(x + 2) + ({x^2} - 2x + 4)}}{2}\, = \frac{{{x^2} - x + 6}}{2}\\
 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} \ge \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}}
\end{array}\)

Tương tự, ta cũng có \(\frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} \ge \frac{{2{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}};\,\,\,\,\,\frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge \frac{{2{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}\).

Từ đó suy ra:

\(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{2{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{2{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}\).   (1)

Chứng minh bổ đề: Cho \(x,\,y > 0\) và \(a,\,b \in R\) ta có: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{a^2}y + {b^2}x}}{{xy}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}} \Leftrightarrow \left( {{a^2}y + {b^2}x} \right)\left( {x + y} \right) \ge xy{\left( {a + b} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {ay - bx} \right)^2} \ge 0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).

Áp dụng bổ đề ta có

\(2\left[ {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right] \ge 2\left[ {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} - \left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right]\)

\( \ge \frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18}}\).

Đến đây, ta chỉ cần chứng minh:

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18}} \ge 1\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

 Do \(\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18\)

        \(\begin{array}{l}
 = {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right) - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 18\\
 = {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right) + 12 > 0
\end{array}\)

Nên \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 2{(x + y + z)^2} \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18\)

             \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z \ge 6{\rm{     }}\) (4)

Mặt khác, do \(x, y, z\) là các số dương nên ta có: 

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx = 3\,\,\\
x + y + z \ge \sqrt {3(xy + yz + zx)}  = 3
\end{array}\)

Nên bất đẳng thức (4) đúng.

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\).