OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa \({2^x} + {2^y} + {2^z} = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x +y + z?

    • A. 
      4
    • B. 
      3
    • C. 
      2
    • D. 
      1

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Với x, y, z là các số thực không âm, nên: \(4 = {2^x} + {2^y} + {2^z} \ge {2^x} + 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\).

    Tương tự: \(y,z \in \left[ {0;1} \right]\).

    Ta chứng minh: \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).

    Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - t - 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).

    \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1\).

    \(f''\left( t \right) = {2^t}{\ln ^2}2 > 0\) ⇒ f'(t) đồng biến.

    ⇒ f'(t) có nhiều nhất 1 nghiệm. Do đó f(t) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm.

    Mặt khác: \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0\) nên \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 1 \end{array} \right.\).

    Suy ra \(f\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) hay \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) (*)

    Áp dụng (*), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} \le x + 1\\ {2^y} \le y + 1\\ {2^z} \le z + 1 \end{array} \right. \Rightarrow P = x + y + z \ge {2^x} + {2^y} + {2^z} - 3 = 1\).

    \( \Rightarrow {\rm{min }}P = 1\), đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = x + 1\\ {2^y} = y + 1\\ {2^z} = z + 1\\ {2^x} + {2^y} + {2^z} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị.

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12