Nối AC, BD.

 - Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB; AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra MQ // BD; MQ = \(\frac{1}{2}\)BD (1)

 - Tương tự, xét tam giác CBD có N, P lần lượt là trung điểm của BC; CD nên NP là đường trung bình của tam giác CBD.

Suy ra NP // BD; NP = \(\frac{1}{2}\)BD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MQ // NP; MQ = NP ⇒ MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

 - Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật thì \(\widehat{MQP}\) = 90⁰ hay MQ ⊥ QP.

Lại có QP // AC (do QP là đường trung bình của tam giác DAC)

Nên MQ ⊥ AC mà MQ // BD (cmt) suy ra AC ⊥ BD.

Vậy tứ giác ABCD cần có AC ⊥ BD thì MNPQ là hình chữ nhật. Chọn D.