OPTADS360
ATNETWORK
ADS_ZUNIA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.

    • A. 
      \(V = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{18}}\)          
    • B. 
      \(V = \dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\)      
    • C. 
      \(V = \dfrac{{13\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\)   
    • D. 
      \(V = \dfrac{{7\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\) 

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của NE và CD; của ME và AD. Khi đó, thiết diện của khối tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNE) là tứ giác MNPQ.

    *) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD:

    Tam giác BCD đều, có các cạnh đều bằng a

    \( \Rightarrow {S_{BCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

    G là trọng tâm tam giác BCD

    \( \Rightarrow GD = \dfrac{2}{3}ND = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

     

    Tam giác AGD vuông tại G \( \Rightarrow AG = \sqrt {A{D^2} - G{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

    Thể tích khối tứ diện đều ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}.AG.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

    Dễ dàng chứng minh Q, P lần lượt là trọng tâm các tam giác ABE, BCE \( \Rightarrow \dfrac{{QE}}{{ME}} = \dfrac{{PE}}{{NE}} = \dfrac{2}{3}\)

    Ta có: \(\dfrac{{{V_{E.DQP}}}}{{{V_{E.BMN}}}} = \dfrac{{EQ}}{{EM}}.\dfrac{{EP}}{{EN}}.\dfrac{{ED}}{{EB}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{9}\) \( \Rightarrow {V_{BMN.DQP}} = \dfrac{7}{9}{V_{E.BMN}}\)

    *) Tính thể tích khối chóp E.BMN:

    \({V_{E.BMN}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {M,\left( {BCD} \right)} \right).{S_{\Delta BNE}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right).{S_{\Delta BCD}}\) \( = \dfrac{1}{2}{V_{ABCD}}\)  (do \({S_{BNE}} = 2{S_{BND}} = 2.\dfrac{1}{2}{S_{BCD}} = {S_{BCD}}\)) 

    \( \Rightarrow {V_{BMN.DQP}} = \dfrac{7}{9}{V_{E.BMN}} = \dfrac{7}{9}.\dfrac{1}{2}{V_{ABCD}} = \dfrac{7}{{18}}{V_{ABCD}}\)

    Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A  \( \Rightarrow V = {V_{ABCD}} - {V_{BMN.DQP}} = \dfrac{{11}}{{18}}{V_{ABCD}} = \dfrac{{11}}{{18}}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \) \(\dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\).

    Chọn: B

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADMICRO/

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12