Cho tam giác ABC cân tại A, góc \(\angle BAC = 120^\circ \) và AB = 4cm.

Câu hỏi:
Cho tam giác ABC cân tại A, góc \(\angle BAC = 120^\circ \) và AB = 4cm. Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa một cạnh của tam giác ABC.
- A.
  \(16\sqrt 3 \pi \)
- B.
  \(\frac{{16\pi }}{{\sqrt 3 }}\)
- C.
  \(\frac{{16\pi }}{3}\)
- D.
  \(16\pi \)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC = {4^2} + {4^2} - {2.4^2}\frac{{ - 1}}{2} = {3.4^2} \Rightarrow BC = 4\sqrt 3 \)

+) Gọi H là trung điểm của BC.

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh BC ta được 2 hình nón có chung bán kính đáy AH, đường cao lần lượt là BH và CH với

\(AH = AB.\cos 60^\circ = 2,BH = CH = \frac{1}{2}BC = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}
V = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}.CH = \frac{1}{3}\pi .A{H^2}\left( {BH + CH} \right)\\
= \frac{1}{3}\pi {2^2}.2\sqrt 3 = \frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

+) Khi quay tam giác ABC quanh AB ta được khối tròn xoay như sau:

Gọi D là điểm đối xứng C qua AB, H là trung điểm của CD.

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow HC = BC.\sin 30^\circ = 4\sqrt 3 .\frac{1}{2} = 2\sqrt 3 \\
BH = BC.\cos 30^\circ = 4\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\\
\Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi H{C^2}.BH - \frac{1}{3}\pi H{C^2}.AH = \frac{1}{3}\pi H{C^2}.AB = \frac{1}{3}\pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}.4 = 16\pi
\end{array}\)

+) Do điểm B và C có vai trò như nhau nên khi quay tam giác ABC quanh AC ta cũng nhận được khối tròn xoay có thể tích bằng 16.

Vậy thể tích lớn nhất có thể được khi quay tam giác ABC quanh một đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC là 16π.

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải