Trong tam giác đều ABC kẻ đường cao AH vuông góc với BC. Khi đó AH

cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

\( \Rightarrow BH = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}6 = 3{\rm{\;}}cm\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:

\(\begin{array}{*{20}{c}} {}&{H{A^2} + H{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow H{A^2} + {3^2} = {6^2}}\\ {}&{ \Leftrightarrow H{A^2} = {6^2} - {3^2} = 27}\\ {}&{ \Rightarrow HA = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 {\rm{\;}}cm.} \end{array}\)

Vậy diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:

\( S = {S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.3\sqrt 3 .6 = 9\sqrt 3 {\rm{\;}}c{m^2}\)

Vậy chiều cao của hình lăng trụ đứng là: \( h = \frac{V}{S} = \frac{{36\sqrt 3 }}{{9\sqrt 3 }} = 4{\rm{\;}}cm\)

Chọn B.