Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 45O. Gọi E là trung điểm cạnh BC (minh họa như hình vẽ bên dưới). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 45^O. Gọi E là trung điểm cạnh BC (minh họa như hình vẽ bên dưới).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC
- A.
  \(\frac{{a\sqrt {38} }}{5}\)
- B.
  \(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
- C.
  \(\frac{{a\sqrt 5 }}{{19}}\)
- D.
  \(\frac{{a\sqrt {38} }}{{19}}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) là góc \(\widehat {SCA} = 45^\circ \) \( \Rightarrow \Delta SAC\) là tam giác vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \).

Gắn hệ trục tọa như hình vẽ và chọn A = 1 ta có :

\(A\left( {0;\,0;\,0} \right),\,B\left( {1;\,0;\,0} \right)D\left( {0;\,1;\,0} \right),\,C\left( {1;\,1;\,0} \right),\,S\left( {0;\,0;\,\sqrt 2 } \right),E\left( {1;\,\frac{1}{2};\,0} \right).\)

Suy ra : \(\overrightarrow {DE} = \left( {1;\, - \frac{1}{2};\,0} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {1;\,1;\, - \sqrt 2 } \right),\,\,\overrightarrow {DC} = \left( {1;\,0;\,0} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {DE} ;\,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\sqrt 2 ;\,\frac{3}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {DE,\,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {DC} .\left[ {\overrightarrow {DE} ,\,\overrightarrow {SC} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {DE} ,\,\overrightarrow {SC} } \right]} \right|}} = \frac{{\sqrt {38} }}{{19}}\).

Vậy với cạnh của hình vuông ABCD là a \( \Rightarrow d\left( {DE,\,SC} \right) = \frac{{\sqrt {38} }}{{19}}a\) .

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải