Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB = SC = 1, \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^o}\) . Gọi là các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho \(SA = x\,SM\,\,(x > 0)\), \(SB = 2SN\). Giá trị x bằng bao nhiêu để thể tích khối tứ diện SCMN bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{{32}}\)?

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB = SC = 1, \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^o}\) . Gọi là các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho \(SA = x\,SM\,\,(x > 0)\), \(SB = 2SN\). Giá trị x bằng bao nhiêu để thể tích khối tứ diện SCMN bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{{32}}\)?
- A.
  \(\frac{5}{2}.\)
- B.
  \(2\)
- C.
  \(\frac{4}{3}.\)
- D.
  \(\frac{3}{2}.\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B
Vì mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC), cạnh SB=SC=1, nên gọi H là trung điểm của BC thì \(SH \bot (ABC)\)

Từ giả thiết ta có \(\Delta SBA=\Delta SCA \) \( \Rightarrow BA = CA \Rightarrow AH \bot BC.\)

Đặt SA = a, ta có \(S{A^2} = S{H^2} + H{A^2} = S{H^2} + \left( {A{C^2} - H{C^2}} \right)\)

Trong tam giác SAC có \(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2.SA.SC.\cos {60^0} = {a^2} + 1 - a\)

Tam giác SBC đều cạnh bằng 1 nên \(SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy ta có \(\begin{array}{l} {a^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {a^2} + 1 - a - \frac{1}{4}\\ \Rightarrow a = \frac{3}{2} \Rightarrow HA = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{1}{2}.AH.BC = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\\ \frac{{{V_{S.CMN}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2 \end{array}\)

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

QUẢNG CÁO

ADMICRO