OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và \(SA = SB = SC = a\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua P. I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.

    • A. 
      \(\frac{{{a^3}}}{{12}}.\)
    • B. 
      \(\frac{{{a^3}}}{{36}}.\)
    • C. 
      \(\frac{{{a^3}}}{6}.\)
    • D. 
      \(\frac{{{a^3}}}{6}.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Do \(SA = SB = SC = a\) nên các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S.

    \( \Rightarrow SA,SB,SC\) đôi một vuông góc.

    Thể tích khối tứ diện vuông S.ABC là: \(V = \frac{1}{6}.SA.SB.SC = \frac{{{a^3}}}{6}\) 

    Gọi J là giao điểm của MN và AP, I là giao điểm của SJ và AD. Khi đó,

    \(I = AD \cap \left( {SMN} \right)\) (do \(SI \subset \left( {SMN} \right)\))

    \(\Delta ASD\) có: P là trung điểm của SD, J là trung điểm của AP.

    Xét tam giác vuông SBC có \(SP = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AP = \sqrt {S{A^2} + S{P^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) 

    \( \Rightarrow SJ = \frac{1}{2}AP = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) 

    Ta có: \(SD = 2SP = a\sqrt 2  \Rightarrow AD = a\sqrt 3  \Rightarrow \cos \angle SDA = \frac{{SD}}{{AD}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

    Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác APD ta có:

    \(\frac{{JA}}{{JP}}.\frac{{SP}}{{SD}}.\frac{{ID}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow 1.\frac{1}{2}.\frac{{ID}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ID}}{{IA}} = 2 \Leftrightarrow ID = \frac{2}{3}AD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) 

    Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SID ta có:

    \(\begin{array}{l}
    S{I^2} = S{D^2} + D{I^2} - 2SD.DI.cos\angle SDA\\
     = 2{a^2} + \frac{4}{3}{a^2} - 2.a\sqrt 2 .\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3}\\
     \Rightarrow SI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \frac{{SJ}}{{SI}} = \frac{3}{4}
    \end{array}\) 

    Dễ dàng chứng minh được: \(SJ = \frac{3}{4}SI \Rightarrow {S_{\Delta SJB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta SIB}} \Rightarrow {V_{M.SJB}} = \frac{3}{4}{V_{M.SIB}}\) hay \( \Rightarrow {V_{M.SIB}} = \frac{4}{3}{V_{M.SJB}}\) 

    Lại có: \({S_{\Delta MJB}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta AJB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S_{\Delta APB}} = \frac{1}{8}{S_{\Delta ABC}}\) 

    \( \Rightarrow {V_{M.SJB}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{M.SIB}} = \frac{4}{3}.\frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{6}{a^3} = \frac{1}{{36}}{a^3}\).

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF