-
Câu hỏi:
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \({{60}^{\text{o}}}\), G là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Khoảng cách từ G đến SA bằng \(\frac{a}{\sqrt{7}}.\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\). Khi đó, \(\tan \frac{\alpha }{2}\) bằng
-
A.
\(\frac{\sqrt{7}}{3}\).
-
B.
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\).
-
C.
\(\frac{\sqrt{6}}{3}\).
-
D.
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Do \(S.ABC\) là hình chóp đều nên hình chiếu của \(S\) trên\(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm \(G\) của đáy. Gọi I là trung điểm của \(BC\). Ta có \(AI\bot BC\),\(SI\bot BC\) nên góc giữa mặt bên \(\left( SBC \right)\) và mặt đáy là góc\(\widehat{SIA}=60{}^\circ \). Kẻ \(GK\bot SA\Rightarrow GK=\frac{a}{\sqrt{7}}\)
Giả sử cạnh đáy hình chóp có độ dài là \(x\) ta có \(GA=\frac{x\sqrt{3}}{3},SG=GI.\tan 60{}^\circ =\frac{x\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{x}{2}.\)
Trong tam giác vuông \(SAG\) ta có \(\frac{1}{G{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{G}^{2}}}+\frac{1}{S{{G}^{2}}}\)\(\Leftrightarrow \frac{7}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{2}}}\Rightarrow x=a\)
\(SA=\sqrt{S{{G}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\)
Ta có \(\left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA\). Trong \(\left( SAB \right)\) kẻ \(BM\bot SA\)
Do \(\Delta SAB=\Delta SAC(c.c.c)\)\(\Rightarrow CM\bot SA\)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) là góc \(\widehat{BMC}=\alpha \).
+ Tính \(BM\): \(p=\frac{SA+SB+AB}{2}=\frac{\frac{a\sqrt{21}}{6}+\frac{a\sqrt{21}}{6}+a}{2}=\frac{3+\sqrt{21}}{6}a\)
\({{S}_{\Delta SAB}}=\sqrt{p(p-SA)(p-SB)(p-AB)}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}\)
\(BM=\frac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SA}=\frac{2.\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}}{a\frac{\sqrt{21}}{6}}=\frac{2a\sqrt{7}}{7}\)\(\Rightarrow MI=\sqrt{M{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\frac{3a\sqrt{7}}{14}\)
+ \(\Delta MBC\) cân nên có \(MI\bot BC\) và \(\widehat{BMI}=\frac{\alpha }{2}\):\(\tan {\mkern 1mu} \frac{\alpha }{2} = \frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{\frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hàm số y=ax^4+bx^2+c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.
- Cắt một khối trụ cho trước bởi một mặt phẳng vuông góc với trục thì được hai khối trụ mới có tổng diện tích
- Số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-5}{{{x}^{2}}+2x-15}\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{x - 1}}{\rm{khi}}x \ne 1}\\{{\rm{2}}a + {\rm{1 khi
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB=2a,\,\,AD=a\).
- Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 5 và bán kính đường tròn đáy bằng 4.
- Một hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 bi sao cho có đủ ba màu. Số cách chọn là
- Bất phương trình \({{2}^{2x}}-{{18.2}^{x}}+32\ge 0\) có tập nghiệm là
- Tập tất cả các giá trị của tham số a để hàm số \(y={{\left( a-2 \right)}^{x}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là:
- Phương trình \(\text{co}{{\text{s}}^{2}}x-3\cos x+2=0\) có họ nghiệm là
- Khẳng định nào dưới đây sai Hàm số y=cos x là hàm số lẻ.
- Cho \(a,\,\,b\) là hai số dương với \(a\ne 1\) thỏa mãn \({{\log }_{a}}b=3.
- Cho hình lăng trụ đều \(ABC.{A}{B}{C}\) có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-3x}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ -4;-2 \right]\) bằng
- Biết giới hạn \(\lim \left[ n\left( \sqrt{{{n}^{2}}+3}-\sqrt{{{n}^{2}}+2} \right) \right]=\frac{a}{b}\) với \(a,\,\,b\in \mathbb{N}\) và \(\f
- Cho x là số thực lớn hơn 8 mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Tập nghiệm của phương trình \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+2x \right)+{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 18-x \right)=0\) là:
- Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích mỗi mặt đáy bằng \(9\pi \left( c{{m}^{\text{2}}} \right).
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên.
- Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y=\frac{5x-1}{x+1}\) tại giao điểm với trục tung là
- Tìm hệ số của \({{x}^{4}}\) trong khai triển của biểu thức \(P\left( x \right)={{\left( x-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}\)
- Đường thẳng \(y=4x+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x+2}\) tại bao nhiêu điểm?
- Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}{B}{C}\) có cạnh \(A{A}=a\), đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC=2a\), \(AB=a\sqrt{3}\).
- Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác đều cạnh a
- Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-6x+1\) là
- Cho hình chóp \(D.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\),\(DA\) vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
- Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\) như hình vẽ. Tổng số cạnh và mặt của hình bát diện bằng bao nhiêu?
- Cho phương trình \(\left( mx-36 \right)\sqrt{2-{{\log }_{3}}x}=0\,\,\,\left( 1 \right).
- Litva sẽ tham gia vào cộng đồng chung châu Âu sử dụng đồng Euro là đồng tiền chung vào ngày \(01\) tháng \(01\) năm \(2015.
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sauHàm số \(y=f\left( 3-2x \right)\) nghịch biến trên khoản
- Cho mặt cầu (S) có bán kính \(R=a\) không đổi.
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị như hình vẽ bên dưới.
- Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\) để với mọi cặp hai số \(\left
- Ông Toán gửi vào một ngân hàng 100 triệu đồng theo thể thức lãi suất kép với lãi suất \(0,8%\)/tháng.
- Bạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh b�
- Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+2mx-m+2}\) có đúng hai đ
- Số các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 16x \right)+5{{\log }_{\frac{x}{4}}}2\ge 0\) là:
- Cho hàm số \(y=\sqrt{\left( 2m-1 \right)\sin x-\left( m+2 \right)\cos x+4m-3}\,\)(1).
- Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-8}{x-3}=6\).
- Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right)\), \(y=f\left( f\left( x \right) \right)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( C \right)\) và \(\left(
- Cho hình chóp đều S.ABC có góc giữa hai mặt bên và mặt đáy bằng 60 độ
- Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình hình bình hành và thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng 18.
- Trong không gian cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng 8, M là một điểm tùy ý thỏa mãn \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=100\).
- Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số f’(x) như hình vẽ bên.
- Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.{A}{B}{C}{D}\).
- Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng \(y=x+m-1\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+\le
- Cho tập \(A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\).