Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\). Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\). Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  1
- B.
  3
- C.
  5
- D.
  7
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C
Đặt \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\Rightarrow h\left( 0 \right)=0.\)

Ta có \(h'\left( x \right)=2xf'\left( {{x}^{2}} \right)-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & f'\left( {{x}^{2}} \right)=1 \\ \end{align} \right..\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(t=f'\left( x \right)\) ta có phương trình \(f'\left( x \right)=1\) có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó dương. Gọi \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right)=1\)

Suy ra \(f'\left( {{x}^{2}} \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{x}_{0}}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{{{x}_{0}}}.\)

Ta có \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d\)

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=+\infty \Rightarrow a>0.\)

Khi đó \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\) là hàm bậc 8 và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=+\infty \)

Lập bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số \(g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|\) có 5 điểm cực trị.

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải