-
Câu hỏi:
Cho các số phức \(w,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|\) bằng
-
A.
\(6\sqrt{7}\).
-
B.
\(2\sqrt{53}\).
-
C.
\(4\sqrt{13}\).
-
D.
\(4+2\sqrt{13}\).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Gọi \(z=x+yi\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)\) khi đó \(M\left( x;\,y \right)\) biểu diễn cho số phức \(z\).
Theo đề bài: \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow 5\left( w+i \right)=\left( 2+i \right)z-\left( 8-i \right)\\ &\Leftrightarrow \left| 5\left( w+i \right) \right|=\left| \left( 2+i \right)z-\left( 8-i \right) \right| \\ & \Leftrightarrow \left| \left( 2-i \right)\left( w+i \right) \right|=\left| z-\left( 3-2i \right) \right|\\ &\Leftrightarrow \left| z-\left( 3-2i \right) \right|=3. \\ \end{align}\)
Suy ra \(M\left( x;\,y \right)\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( 3;\,-2 \right)\) và bán kính \(R=3\).
Ta có \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|=\left| z-\left( 1+2i \right) \right|+\left| z-\left( 5+2i \right) \right|=MA+MB\) với \(A\left( 1;\,2 \right)\) và \(B\left( 5;\,2 \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) suy ra \(E\left( 3;\,2 \right)\) và \(IE=4\) (\(E\)nằm ngoài \(\left( I \right)\)).
\(P=MA+MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}\)\( =\sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}\)\( =\sqrt{4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}\)\( =\sqrt{4M{{E}^{2}}+16}\).
Biểu thức \(P\)đạt giá trị lớn nhất khi độ dài \(ME\) lớn nhất hay \(M,\,I,\,E\) thẳng hàng.
Khi đó \(M{{E}_{\max }}=IE+IM=7\) và \(\overrightarrow{IM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{EI}\Rightarrow M\left( 3;-5 \right)\).
Vậy biểu thức \({{P}_{\max }}=\sqrt{{{4.7}^{2}}+16}=2\sqrt{53}\) khi \(z=3-5i\) và \(w=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}i\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):3x+y-2z+1=0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của \((P)\)?
- Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.
- Tập xác định của hàm số \(y={{x}^{\sqrt{5}}}\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a\) là số thực dương.
- Thể tích của khối cầu có bán kính \(R\) là
- Môđun của số phức \(z=4-3i\) bằng
- Giá trị của \(\int\limits_{2}^{5}{\frac{1}{x}\text{d}x}\) bằng
- Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 3;\,-1;\,2 \right)\)
- Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véctơ \(\vec{a}=\left( 2\,;\,3\,;\,2 \right)\)
- Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(B\) và chiều cao bằng \(h\).
- Điểm \(M\) trong hình bên dưới biểu diễn số phức nào sau đây?
- Thể tích của khối trụ có chiều cao \(h=2\) và bán kính đáy \(r=3\) là
- Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như hình bên dưới?
- Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
- Nghiệm của phương trình \({{3}^{x}}=7\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(k\)
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
- Với \(a\) là số thực dương, \(\log {{a}^{10}}\) bằng
- Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+3i\) và \({{z}_{2}}=3-2i\). Số phức \({{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) bằng
- Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
- Họ nguyên hàm của của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x\) là
- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-4}{x+1}\) là đường thẳng có phương trình
- Cho khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
- Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 1\,;\,0\,;\,-2 \right)\)
- Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x
- Cho \({{\log }_{a}}5=3\), khi đó giá trị của \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( 5{{a}^{3}} \right)\) bằng
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0\,;\,2 \right]\) và thỏa mãn
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
- Hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(2\)
- Cho số phức \(z={{\left( 1+2i \right)}^{2}}\). Số phức \(\frac{z}{i}\) bằng
- Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\)biết \({{u}_{1}}=5,\,{{u}_{2}}=8\).
- Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)\) là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\).
- Một hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng.
- Cho hàm số \(f(x)\)có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-3x}},\forall x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\) và \(f(-1)=\frac{2}{3}\).
- Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=1,AD=AA'=\sqrt{3}\).
- Trên tập hợp số phức, biết \({{z}_{0}}=3-2i\) là một nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+az+b=0\)(với \(a,\,\,b\in \mathbb{R}\)).
- Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.
- Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{9}^{x}}-{{10.3}^{x+2}}+729 \right)\sqrt{2\ln 30-\ln \left( 9x \right)}\ge 0\)?
- Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\).
- Trong không gian \(Oxyz\), giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+2y+z-1=0\)
- Trong không gian \(Oxyz,\)gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữa nhật
- Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}-4x+4\),
- Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\frac{3}{2}\) và \(f(0)=0\).
- Cho các số phức \(w,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)
- Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4\)
- Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa mãn
