Áp dụng công thức tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đường cao ta có

'\(\begin{array}{l} \mathrm{BN}=\frac{2}{3} \mathrm{BC}=>\mathrm{S}_{\mathrm{ABN}}=\frac{2}{3} \mathrm{~S}_{\mathrm{ABC}}=\frac{2}{3} \mathrm{~S} \\ \mathrm{BM}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}=>\mathrm{S}_{\mathrm{BMN}}=\frac{1}{3} \mathrm{~S}_{\mathrm{ABN}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \mathrm{~S}=\frac{2}{9} \mathrm{~S} \end{array}\)

Tương tự ta có

\(\mathrm{S}_{\mathrm{AMP}}=\frac{2}{9} \mathrm{~S} ; \mathrm{S}_{\mathrm{CNP}}=\frac{2}{9} \mathrm{~S}\)

suy ra

\(\mathrm{S}_{\mathrm{MNP}}=\mathrm{S}_{\mathrm{ABC}}-\mathrm{S}_{\mathrm{AMP}}-\mathrm{S}_{\mathrm{BNM}}-\mathrm{S}_{\mathrm{CNP}}=\frac{1}{3} \mathrm{~S}\)