a) TXĐ: D = R là tập đối xứng.

Để hàm số đã cho là hàm số lẻ \( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right),\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - m - 2} \right) = 0,\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {m - 2} \right) = 0\\
2\left( {{m^2} - m - 2} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

b) Đặt \(t = {x^2} - 2x\) với \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) ta có bảng biến thiên

Từ đó suy ra \(t \in \left[ { - 1;4} \right]\).

Khi đó hàm số \(y = {t^2} - 4t\) với \(t \in \left[ { - 1;4} \right]\). Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, trên đoạn [-1;4] ta có:

GTLN khi y_LN = 5 khi \(t =  - 1 \Rightarrow x = 1\)

và GTNN là: y_NN = - 4 khi \(t = 2 \Rightarrow {x^2} - 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 \)