a) \(\sqrt {2x - 1}  \le 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 \ge 0\\
2x - 3 \ge 0\\
2x - 1 \le {(2x - 3)^2}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{3}{2}\\
2{x^2} - 7x + 5 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{3}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ge \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \ge \frac{5}{2}\)

b) 

TH1: \(m = 0\) thì bpt trở thành: \(2x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 2\)

Nên \(m=0\) không thỏa mãn

TH2: \(m \ne 0\) thì bpt \(m{x^2} + 2(m + 1)x + 4 \ge 0\) nghiệm đúng mọi \(x \in R\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta ' \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{(m + 1)^2} - 4m \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{m^2} - 2m + 1 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{(m - 1)^2} \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1
\end{array}\)

Vậy \(m=1\) là giá trị cần tìm