1. Ta có \(A{B^2} = 2A{M^2} - A{C^2} + \frac{{B{C^2}}}{2} = 31 \Rightarrow AB = \sqrt {31} \)

\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{1}{{4\sqrt {31} }} \Rightarrow \widehat B \approx {87^0}25'\)

2. a) Đường cao AH đi qua A(1;2) và nhận vectơ \(\overrightarrow {BC}  = (1;8)\) làm vectơ pháp tuyến

PT AH: \((x - 1) + 8(y - 2) = 0 \Rightarrow x - 8y - 17 = 0\)

b) Đường tròn đường kính BC có tâm \(\left( {\frac{5}{2};1} \right)\) là trung điểm BC và bán kính \(R=\frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {65} }}{2}\)

Phương trình đường tròn đường kính BC: \({\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y - 1)^2} = \frac{{65}}{4}\)