1. \({x^4} - 9{x^3} + 24{x^2} - 27x + 9 = 0{\rm{   (*)}}\)

Với x = 0, \({\rm{ (*)}} \Leftrightarrow {\rm{0x + 9 = 0}}\) (phương trình vô nghiệm.

Với \(x \ne  0\), chia 2 vế của phương trình (*) cho x².

\(\begin{array}{l}
{\rm{(*)}} \Leftrightarrow {x^2}{\rm{ -  9x + 24  - }}\frac{{27}}{x}{\rm{ + }}\frac{9}{{{x^2}}}{\rm{ = 0}} \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{3}{x}} \right)^2} - 9\left( {x + \frac{3}{x}} \right) + 18 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + \frac{3}{x} - 3} \right)\left( {x + \frac{3}{x} - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{3}{x} - 3 = 0\\
x + \frac{3}{x} - 6 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 3 = 0{\rm{ }}(vo{\rm{ }}nghiem)\\
{x^2} - 6x + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3 + \sqrt 6 \\
x = 3 - \sqrt 6 
\end{array} \right.
\end{array}\)

2. 

\(\begin{array}{l}
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 3 \ge 4\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\frac{a}{b} + 1} \right) + \left( {\frac{b}{c} + 1} \right) + \left( {\frac{c}{a} + 1} \right) \ge 4\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{b} - \frac{{4a}}{{a + b}} + \frac{{b + c}}{c} - \frac{{4b}}{{b + c}} + \frac{{c + a}}{a} - \frac{{4c}}{{c + a}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{b(a + b)}} + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{c(b + c)}} + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{a(c + a)}} \ge 0
\end{array}\)

Luôn đúng vì a, b, c là các số dương. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c.