Đề thi chọn HSG môn Toán 9 Sở GD & ĐT Đồng Nai năm 2018 - 2019

1. Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = m + 1\\
2x - 3y = m + 3
\end{array} \right.\) (với m là tham số thực). Tìm m để biểu thức \(P = {x^2} + 8y\) đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
{x^3} - {y^3} =  - 1
\end{array} \right.\) (với x, y thuộc R).

1. Giải phương trình \({x^4} - 9{x^3} + 24{x^2} - 27x + 9 = 0{\rm{  (x}} \in {\rm{R)}}\)

2. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 3 \ge 4\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}} \right)\)

1. Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\). Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.

2. Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999.

Cho \(A = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{2}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} + \frac{3}{{\sqrt 3  + \sqrt 4 }} + .... + \frac{{99}}{{\sqrt {99}  + \sqrt {100} }}\) là tổng của 99 số hạng và \(B = \sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 4  + ... + \sqrt {100} \) là tổng của 99 số hạng.

Tính A + B

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, AC với đường tròn (I). Biết ba góc \(\widehat {BAC},{\rm{ }}\widehat {ABC},{\rm{ }}\widehat {BCA}\) đều là góc nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC.

1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC

2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.