Lý thuyết và bài tập về hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

Cho một tập hợp A gồm n phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi kết quả của sự  sắp xếp theo thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp A  gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó. Số các hoán vị của một tập hợp có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\) kí hiệu là \({P_n}\).

\({P_n} = n! = n.(n – 1).\left( {n – 2} \right)…1\)  \(\left( {0! = 1} \right)\)

Cho tập A gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\) và một số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy ra \(k\) phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của tập A.. Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) được kí hiệu là \(A_n^k\)

\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\)với

Cho tập A gồm \(n\) phần tử và số nguyên \(k\) với \(0 \le k \le n\). Mỗi tập con của A có \(k\) phần tử được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của A.  Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử được kí hiệu là \(C_n^k\)

\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!.k!}}\)với

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng tròn của n phần tử. Số các hoán vị vòng tròn của n phần tử là \((n – 1)!\)

Ví dụ 1: Một lớp có 35 học sinh chọn ra 2 bạn đi thi văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Ⓐ. \(C_{35}^2\).                    

Ⓑ. \(A_{35}^2\).                       

Ⓒ. \(A_{10}^3 + A_8^2\).                        

Ⓓ. \(C_{10}^3 + C_8^2\).

Lời giải

Chọn  A

Số cách chọn ra 2 học sinh từ 35 học sinh là: \(C_{35}^2\).

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: \(C_{35}^2\).

Ví dụ 2: Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ 2 chức vụ tổ trưởng và tổ phó.

Ⓐ. \(C_{10}^2\).   

Ⓑ.  \(A_{10}^8\).    

Ⓒ.  \({10^2}\).         

Ⓓ.  \(A_{10}^2\).

Lời giải

Chọn D

Theo yêu cầu bài toán thì chọn ra 2 học sinh từ 10 học sinh có quan tâm đến chức vụ của mỗi người nên mỗi cách chọn sẽ là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?

Ⓐ. \({P_{10}}\).          

Ⓑ. \(C_{10}^1\).        

Ⓒ. \(A_{10}^1\).        

Ⓓ. \(C_{10}^{10}\).

Lời giải

Chọn B

Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử.

Suy ra số cách sắp xếp là \({P_{10}}\).

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(C_n^k = \frac{{k!}}{{n!\left( {n – k} \right)!}}\).

B. \(C_n^k = \frac{{k!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\). 

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\).      

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\).

Câu 2: Số \(5! – {P_4}\) bằng:

A. \(5\).

B. \(12\). 

C. \(24\).                        

D. \(96\).

Câu 3: Với \(k\) và \(n\) là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k \le n\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \({P_n} = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}\).

B. \({P_n} = \left( {n – k} \right)!\). 

C. \({P_n} = \frac{{n!}}{{k!}}\).          

D. \({P_n} = n!\)

Câu 4: Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(\left( {1 \le k \le n} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n + k} \right)!}}\)

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + k} \right)!}}\) 

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\)   

D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\)

Câu 5: \(C_n^3 = 10\) thì \(n\) có giá trị là :

A. \(6\). 

B. \(5\). 

C. \(3\).                    

D. \(4\).

Câu 6: Cho công thức tính số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\)

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}\) 

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}\)   

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\)

Câu 7: Công thức tính số hoán vị \({P_n}\)là

A. \({P_n} = (n – 1)!\).

B. \({P_n} = (n + 1)!\). 

C. \({P_n} = \frac{{n!}}{{(n – 1)}}\).    

D. \({P_n} = n!\).

Câu 8: Kết quả nào sau đây sai:

A. \(C_{n + 1}^0 = 1\). 

B. \(C_n^n = 1\). 

C. \(C_n^1 = n + 1\).       

D. \(C_n^{n – 1} = n\).

Câu 9: Cho \(k\), \(n\) \(\left( {k < n} \right)\) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(A_n^k = k!.C_n^k\).

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n – k} \right)!}}\). 

C. \(C_n^k = C_n^{n – k}\).                             

D. \(A_n^k = n!.C_n^k\).

Câu 10: Công thức tính số hoán vị \({P_n}\) là

A. \({P_n} = \left( {n – 1} \right)!\).

B. \({P_n} = \left( {n + 1} \right)!\). 

C. \({P_n} = \frac{{n!}}{{\left( {n – 1} \right)}}\).                     

D. \({P_n} = n!\).

Câu 11: Cho \(n,k\) là những số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\) và \(n \ge 1\). Tìm khẳng định sai.

A. \({P_n} = A_n^n\)

B. \(C_n^k = C_n^{n – k}\) 

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\)                                        

D. \({P_k}.C_n^k = A_n^k\)

Câu 12: Cho tập \(A\) có \(n\) phần tử (, \(n \ge 2\)), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử trên là

A. \(\frac{{n!}}{{k!}}\).B. \(\frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\). 

C. \(\frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\).                       

D. \(k!\left( {n – k} \right)!\).

Câu 13: Tập \(A\) có \(10\) phần tử, số tập con của \(A\) bằng

A. \(1024\).

B. \(2023\). 

C. \(10\).                        

D. \(20\).

Câu 14: Với \(k\) và \(n\) là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k \le n\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\)

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\) C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\)       

D. \(C_n^k = \frac{{k!\left( {n – k} \right)!}}{{n!}}\)

Câu 15: Từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?

A. \(C_7^3\)

B. \({3^7}\) 

C. \(A_7^3\)                  

D. \({7^3}\)

ĐÁP ÁN

1.D	2.D	3.D	4.D	5.B	6.C	7.D	8.C	9.D	10.D
11.C	12.C	13.A	14.A	15.C

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về quy tắc cộng và quy tắc nhân

Chúc các em học tập tốt!