Giải bài tập SGK Chương 1 Toán 9 Tập 1

Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.

Chứng minh \(\sqrt {a^2} = |a|\) với mọi số a.

Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để \(\sqrt A \) xác định? 

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ. 

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ. 

Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp

\(\displaystyle a)\sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}}\)   

\(\displaystyle b)\sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}.2{{34} \over {81}}}\)

\(\displaystyle c){{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }}\)    

\(d)\sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}}\) 

Rút gọn các biểu thức sau:

a)  \(\left( {\sqrt 8  - 3.\sqrt 2  + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2  - \sqrt 5 \)

b)  \(0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3}  + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)

c)  \(\left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}}  - {3 \over 2}.\sqrt 2  + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8}\)

d)  \(2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}}  - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \)

Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)

a)  \(xy - y\sqrt x  + \sqrt x  - 1\)

b)  \(\sqrt {ax}  - \sqrt {by}  + \sqrt {bx}  - \sqrt {ay} \)

c)  \(\sqrt {a + b}  + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

d)  \(12 - \sqrt x  - x\)

Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sqrt { - 9{\rm{a}}}  - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}}\) tại a = - 9

b) \(1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4}\) tại m = 1,5

c) \(\sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}}  - 4{\rm{a}}\) tại a = √2

d) \(4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 1} \) tại x = √3

Tìm x, biết:

a) \(\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}  = 3\)

b)  \({5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}}  - \sqrt {15{\rm{x}}}  - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\left( {{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8  - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} =  - 1,5\)

b) \(\left( {{{\sqrt {14}  - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15}  - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7  - \sqrt 5 }} =  - 2\)

c) \({{a\sqrt b  + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a  - \sqrt b }} = a - b\) với a, b dương và a ≠ b

d) \(\left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\) với a ≥ 0 và a ≠ 1

Cho biểu thức

\(Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với a > b > 0

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b

Nếu \(x\) thỏa mãn điều kiện:

\(\sqrt {3 + \sqrt x }  = 3\) 

Thì \(x\) nhận giá trị là

(A) \(0\) 

(B) \(6\)     

(C) \(9\)           

(D) \(36\) 

Hãy chọn câu trả lời đúng. 

Biểu thức

\(\sqrt {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}}  + \sqrt {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{{3 - \sqrt 5 }}} \) 

Có giá trị là

(A)  \(3\) 

(B)   \(6\) 

(C)  \(\sqrt 5 \)                    

(D)  \( - \sqrt 5 \)

Hãy chọn câu trả lời đúng. 

Chứng minh các đẳng thức:

a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \sqrt 6 \)

b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  = 8.\)

Cho: 

\(A = \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} }}{{4x - 2}}\) 

Chứng minh: \(\left| A \right| = 0,5\) với \(x \ne 0,5.\) 

Rút gọn các biểu thức: 

a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } ;\)

b) \(\sqrt {15 - 6\sqrt 6 }  + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } ;\)

c) \(\left( {15\sqrt {200}  - 3\sqrt {450}  + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} .\)

a) Chứng minh:

\(x - 4\sqrt {x - 4}  = {\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)^2};\)

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:

\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\)

Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

\(A = \sqrt x  + \sqrt {x + 1} \);

\(B = \sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1} .\)

a) Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \);

b) Tìm x, biết:

\(\sqrt x  = \sqrt {x + 1}  = 1\);

\(\sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1}  = 2\)

Chứng minh:

\(x - \sqrt x  + 1 = {\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) với \(x > 0\)

Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu? 

Tìm số \(x\) nguyên để biểu thức \({\dfrac{\sqrt x  + 1}{\sqrt x  - 3}}\) nhận giá trị nguyên. 

Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )

a) \({{\sqrt a  + \sqrt b } \over {2\sqrt a  - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {2\sqrt a  + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }}\);

b) \(\left( {{{a\sqrt a  + b\sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a  + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} = 1.\)

Cho biểu thức

\(A = {{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} - {{a\sqrt b  + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}.\)

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.

b)  Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a.

Cho biểu thức

\(B = \left( {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^3}}  - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x  + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) .

a) Rút gọn B 

b) Tìm x để B = 3.

Cho biểu thức:

\(C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x  + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)

a) Rút gọn C    

b) Tìm x sao cho C < -1.

Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh \(\dfrac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}\) với \(\sqrt 5  + 1\).