Bài tập 3.2 rang 103 SBT Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

+) Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong đường tròn \((O)\) ta có:

\(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\)  (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC}\))

\(b)\) \(∆ACB\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên \(∆ABC\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow CO = OA = \displaystyle{1 \over 2}AB\) (tính chất tam giác vuông)

Mà \(AC = AO\)  (bán kính đường tròn \((A)\))

Suy ra: \(AC = AO = OC\)

\( \Rightarrow \)\( ∆ACO\) đều \( \Rightarrow \widehat {AOC} = {60^o}\)

Ta có: \(∆ADB\) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AB\) nên \(∆ADB\) vuông tại \(D\)

\( \Rightarrow DO = OB = OA = \displaystyle {1 \over 2}AB\) (tính chất tam giác vuông)

\(BD = BO\) (bán kính đường tròn \((B)\))

Suy ra: \(BO = OD = BD\)

\( \Rightarrow \) \(∆BOD\) đều

\( \Rightarrow \widehat {ODB} = \widehat {BOD} = {60^o}\)

Mà \(\widehat {AOC} + \widehat {COD} + \widehat {BOD} = {180^o}\)

Suy ra: \(\widehat {COD} = {60^o}\)

Kết hợp với: \(OC = OD\)  (vì cùng bằng \(\displaystyle {1 \over 2}AB\))

Suy ra: \(∆COD\) đều

\( \Rightarrow \widehat {ODC} = {60^o} \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {BOD}\)

\( \Rightarrow \) \(CD // AB\) (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

\(c)\) Ta có: \(∆AOC\) đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow OA = AC = OC\)

\(∆OCD\) đều (chứng minh trên)  \( \Rightarrow OC = OD = CD\)

Suy ra: \(AC = AO = OD = DC\)

Vậy: tứ giác \(AODC\) là hình thoi. Suy ra \( AD \bot OC.\)

\(d)\) \(∆BOD\) đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {OBD} = {60^o}\) hay \(\widehat {ABD} = {60^o}\)

Vì \(∆ADB\) vuông tại \(D\)

\( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABD} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {DAB} = {90^o} - \widehat {ABD} \)\(= {90^o} - {60^o} = {30^o}\)

Vậy \(\widehat {DAO} = {30^o}\)

\(e)\) \(OE // AD\;\; (gt)\)

\( \Rightarrow \widehat {EOB} = \widehat {DAO} = {30^o}\) (hai góc đồng vị)

\( sđ \overparen{BE}\) \( = \widehat {EOB} = {30^0}\)

\( sđ \overparen{CD}\) \( = \widehat {COD}\)

mà \(\widehat {COD} = {60^o}\) (chứng minh trên)

\(  sđ \overparen{CD} = 60^o\)

Suy ra: Số đo cung \(\overparen{CD}\) gấp đôi số đo cung \(\overparen{BE}\).

-- Mod Toán 9 HỌC247