Bài tập 5.2 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

a) Trong ΔABD ta có:

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của ΔABD.

⇒ MQ // BD và MQ = \(\frac{1}{2}\) BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ΔCBD ta có:

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

nên NP là đường trung bình của ΔCBD

⇒ NP // BD và NP = \(\frac{1}{2}\) BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

AC ⊥ BD (gt)

MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ

Trong ΔABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay (NMQ) = 90⁰

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b) Kẻ đường chéo MP và NQ

Trong ΔMNP ta có:

X là trung điểm của MN

Y là trung điểm của NP

nên XY là đường trung bình của ΔMNP

⇒ XY // MP và XY = \(\frac{1}{2}\) MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong ΔQMP ta có:

T là trung điểm của QM

Z là trung điểm của QP

nên TZ là đường trung bình của ΔQMP

⇒ TZ // MP và TZ = \(\frac{1}{2}\) MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.

Trong ΔMNQ ta có XT là đường trung bình

⇒ XT = \(\frac{1}{2}\) QN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ

Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi

S_XYZT = \(\frac{1}{2}\) XZ. TY

mà XZ = MQ = \(\frac{1}{2}\) BD = \(\frac{1}{2}\). 8 = 4 (cm);

TY = MN = \(\frac{1}{2}\) AC = \(\frac{1}{2}\) .6 =3 (cm)

Vậy: S_XYZT = \(\frac{1}{2}\). 3. 4 = 6 (cm²)

-- Mod Toán 8 HỌC247