Toán 8 Kết nối tri thức Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

- Với hai số a, b bất kì ta thức hiện phép tính:

\(\left( a+b \right).\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}-{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}b-a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}\)

Vậy \(\left( a+b \right).\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}\)

- Với A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:

Ví dụ 1: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) \({{x}^{3}}+1\)

b) \({{x}^{3}}+8{{y}^{3}}\)

Hướng dẫn giải

a) \({{x}^{3}}+1=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\)

b) \({{x}^{3}}+8{{y}^{3}}={{x}^{3}}+{{\left( 2y \right)}^{3}}\text{ }=\text{ }\left( x+2y \right)\left( {{x}^{2}}-2xy+4{{y}^{2}} \right)\)

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\left( 2x+1 \right)\left( 4{{x}^{2}}-2x+1 \right)-8{{x}^{3}}\)

b) \(\left( x+4y \right)\left( {{x}^{2}}-4xy+16{{y}^{2}} \right)-{{x}^{3}}-65{{y}^{3}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left( 2x+1 \right)\left( 4{{x}^{2}}-2x+1 \right)-8{{x}^{3}}\)

\(\begin{array}{*{35}{l}} ={{\left( 2x \right)}^{3}}+1-8{{x}^{3}} \\ =8{{x}^{3}}+1-8{{x}^{3}} \\ =1 \\ \end{array}\)

b) \(\left( x+4y \right)\left( {{x}^{2}}-4xy+16{{y}^{2}} \right)-{{x}^{3}}-65{{y}^{3}}\)

\(={{x}^{3}}+{{\left( 4y \right)}^{3}}-{{x}^{3}}-65{{y}^{3}}\\={{x}^{3}}+64{{y}^{3}}-{{x}^{3}}-65{{y}^{3}}\\=-{{y}^{3}}\)

- Với hai số a, b bất kì viết: \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}={{a}^{3}}+{{\left( -b \right)}^{3}}\), sử dụng HĐT tổng hai lập phương ta được: \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\)

- Với  A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:

Ví dụ 3: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) \({{x}^{3}}-27\)

b) \({{x}^{3}}-8{{y}^{3~}}\)

Hướng dẫn giải

a) \({{x}^{3}}~-27={{x}^{3}}-{{3}^{3}}~=\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+9 \right)\)

b) \({{x}^{3}}-8{{y}^{3~}}={{x}^{3}}-{{\left( 2y \right)}^{3}}~=\left( x-2y \right)\left( {{x}^{2}}+2xy+4{{y}^{2}} \right)\)

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau: \(\left( 3x-4 \right)\left( 9{{x}^{2}}+12x+16 \right)-27{{x}^{3}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{*{35}{l}} \left( 3x-4 \right)\left( 9{{x}^{2}}+12x+16 \right)-27{{x}^{3}} \\ ={{\left( 3x \right)}^{3~}}-{{4}^{3}}-27{{x}^{3}} \\ =27{{x}^{3}}-64-27{{x}^{3}} \\ =-64 \\ \end{array}\)

CHÚ Ý: Các hằng đẳng thức vừa học được sử dụng thường xuyên trong các biến đổi đại số nên ta gọi chúng là các hằng đẳng thức đáng nhớ.

BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Bài 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:

a) \(\left( 2x+3y \right)\left( 4{{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}} \right)\)

b) \(\left( 5-x \right)\left( 25+5x+{{x}^{2}} \right)\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left( 2x+3y \right)\left( 4{{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}} \right)\)

\(={{\left( 2x \right)}^{3}}+{{\left( 3y \right)}^{3}}\\ =8{{x}^{3}}+27{{y}^{3}}\)

b) Ta có: \(\left( 5-x \right)\left( 25+5x+{{x}^{2}} \right)\)

\(={{5}^{3}}-{{x}^{3}}\)

Bài 2. Rút gọn biểu thức sau:

\(\left( 2x-5 \right)\left( 4{{x}^{2}}+10x+25 \right)+\left( 2x+5 \right)\left( 4{{x}^{2}}-10x+25 \right)\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{*{35}{l}} \left( 2x-5 \right)\left( 4{{x}^{2}}+10x+25 \right)+\left( 2x+5 \right)\left( 4{{x}^{2}}-10x+25 \right) \\ =8{{x}^{3}}~\text{ }125\text{ }+\text{ }8{{x}^{3}}~+\text{ }125 \\ =16{{x}^{3}} \\ \end{array}\)

Qua bài học này, các em có thể: 

- Mô tả các hằng đẳng thức: Tổng, hiệu của hai lập phương.

 - Vận dụng hai hằng đẳng thức này để rút gọn biểu thức hay viets biểu thức dưới dạng tích.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 8 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Thu gọn biểu thức \(\left( x-3y \right)({{x}^{2}}+3xy+9{{y}^{2}})\) dưới dạng hiệu hai lập phương?

  • A. x³ + (3y)³
  • B. x³ + (9y)³
  • C. x³ – (3y)³
  • D. x³ – (9y)³

• Câu 2:

  Thu gọn biểu thức \(({{x}^{2}}+3)({{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+9)\) dưới dạng tổng hai lập phương?

  • A. (x²)³ + 3³
  • B. (x²)³ – 3³
  • C. (x²)³ + 9³
  • D. (x²)³ – 9³

• Câu 3:

  Viết biểu thức \(\left( 3x-4 \right)(9{{x}^{2}}~+12x+16)\) dưới dạng hiệu hai lập phương?

  • A. (3x)³ – 16³
  • B. 9x³ – 64
  • C. 3x³ – 4³
  • D. (3x)³ – 4³

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 

Mở đầu trang 37 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 1 trang 37 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 38 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 38 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 39 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1- KNTT

Vận dụng trang 39 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài 2.12 trang 39 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài 2.13 trang 39 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài 2.14 trang 39 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài 2.15 trang 39 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài tập 2.13 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 2.14 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 2.15 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 2.16 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!