Hỏi đáp về Phương trình đường thẳng trong không gian - Hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng d, biết : \(\eqalign{  &\;d:{{x + 3} \over 2} = {{y - 5} \over { - 3}} = {{z - 1} \over { - 4}}\cr} \)

Hai đường thẳng d1: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}\) và d2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 3t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\). Hãy chứng minh rằng d₁ và d₂ cùng nằm trong một mặt phẳng \((\alpha )\).

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\). Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\), viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \)  đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\).

Có hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’. 

Cho hai đường thẳng: \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{3}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 3 - 2t'}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) Hãy lập phương trình đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\).

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 12 = 0. Hãy tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng \((\alpha )\).

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 12 = 0. Hãy tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \((\alpha )\). 

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\). Hãy tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \). 

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\). Hãy cho biết tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \). 

Hai đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(\Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\). Hãy tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\). 

Hai đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(\Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\). Hãy xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\). 

Hãy tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong trường hợp: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z =  - 3t'}\end{array}} \right.\) 

Hãy tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong trường hợp: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 2 + 3t'}\\{z = 3t'}\end{array}} \right.\)

Với đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – 2y + z + 3 = 0. Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\). 

Với đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – 2y + z + 3 = 0. Chứng minh rằng  \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).

Hãy tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}\). 

Hãy xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong trường hợp sau \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)   và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0.

Hãy xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong trường hợp sau d:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)  và  \((\alpha )\): x + z + 5 = 0. 

Hãy xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong trường hợp sau: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\)   và  \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0.

Tìm giá trị a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = at}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = a + 4t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)  và  \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9 + 2t'}\\{y = 8 + 2t'}\\{z = 10 - 2t'}\end{array}} \right.\) 

Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình: \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{3}\)  và \(d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\).

Hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\): x + 2z = 0 và cắt hai đường kính \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\) và  \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t'}\\{y = 4 + 2t'}\\{z = 4}\end{array}} \right.\)

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong trường hợp: \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4).