Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Tính \((1,5)^{2}\); \((-\frac{2}{3})^{2} \);\((\sqrt{2})^{4}\)

Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu x = a . \(10^{m}\), ở đó  \(1 \leq a\leq 10\) và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 kg.

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho \(x^{2} = 4\)

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho \(x^{3}=-8\)

Tính a) \(\sqrt[3]{-125} \)

b) \(\sqrt[4]{\frac{1}{81}}\)

a) Tính và so sánh: \( \sqrt[3]{-8}. \sqrt[3]{27}  và \sqrt[3]{(-8).27} \)

b) Tính và so sánh: \(\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} và \sqrt[3]{\frac{-8}{27}}\)

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa \(a^{\frac{1}{n}}\) sao cho \((a^{\frac{1}{n}})^{n}=a\)

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa \(a^{\frac{m}{n}}\), với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho \(a^{\frac{m}{n}}= (a^{\frac{1}{n}})^{m}\)

Rút gọn biểu thức: \(A= \frac{X^{\frac{3}{2}}Y + XY^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{X}+\sqrt{Y}}\) (x,y>0)

Ta biết rằng \(\sqrt{2}\) là một số vô tỉ và \(\sqrt{2}\) = 1,4142135624...

Gọi \(r_{n}\) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số \(\sqrt{2}\), với \(r_{1}\) = 1; \(r_{2}\)=1,4; \(r_{3}\) = 1,41; \(r_{}\)= 1,4142;...

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: \(3^{r_{1}}\); \(3^{r_{2}}\); \(3^{r_{3}}\); \(3^{r_{4}}\) và \(3^{\sqrt{2}}\)
b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa \(3^{\sqrt{2}}\) và \(3^{r_{n}}\), tức là |\(3^{\sqrt{2}}\)  \(3^{r_{n}}\) |, khi n càng lớn?

Rút gọn biểu thức

\(A=\frac{(a^{\sqrt{2}-1})^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}.a^{3-\sqrt{5}}}\) (a>0)

Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:

\(A=P(1+r)^{N}\)

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

Tính 

a)\((\frac{1}{5})^{-2}\)

b)\(4^{\frac{3}{2}}\)

c)\((\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}\)

d)\((\frac{1}{16})^{-0,75}\)

Thực hiện phép tính:

a)\(27^{\frac{2}{3}}+81^{-0,75}-25^{0,5}\)

b)\(4^{2-3\sqrt{7}}.8^{2\sqrt{7}}\)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A=\frac{X^{5}Y^{-2}}{X^{3}Y} (X,Y\neq 0)\)

b) \(B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{(X^{-1}Y^{4})^{-3}} (X,Y\neq 0)\)

Cho x,y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\mathrm{y}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}}{\sqrt[6]{\mathrm{x}}+\sqrt[6]{\mathrm{y}}}\)

b) \(B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}. \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}} \)

Chứng minh rằng: \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2\)

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh: 

a) \(5^{6\sqrt{3}}\) và \(5^{3\sqrt{6}}\)

b) \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}}\) và \( \sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}\)

Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r ( được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

\(A=P(1+\frac{r}{n})^{N}\)

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo ki hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức \(A=19.2^{\frac{t}{30}}\). Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Tính:

a) \(\sqrt[3]{{ - 27}}\)

b)\({25^{\frac{3}{2}}}\);

c) \({32^{ - \frac{2}{5}}}\)

d)\({\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{2}{3}}}\).

So sánh cơ số \(a~(a > 0)\) với \(1\) biết rằng:

a) \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{5}{6}}}\);

b) \({a^{\frac{{11}}{6}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}\).

Rút gọn các biễu thức sau:

a) \(\sqrt[5]{{32{x^{15}}{y^{20}}}}\)

b) \(6\sqrt[3]{{9{x^2}}} \cdot 3\sqrt[3]{{24x}}\).

Rút gọn các biễu thức sau:

a) \(2\sqrt {12} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {48} \)

b) \(8xy - \sqrt {25{x^2}{y^2}} + \sqrt[3]{{8{x^3}{y^3}}}(x > 0,y > 0)\)

Cho a là số thực đương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \({\left( {{a^{\sqrt 6 }}} \right)^{\sqrt {24} }}\);

b) \({a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\);

c) \({a^{ - \sqrt 3 }}:{a^{{{(\sqrt 3 - 1)}^2}}}\);

d) \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[{12}]{{{a^5}}}\).

Cho \(a\) và \(b\) là hai số dương, \(a \ne b\). Rút gọn biểu thức sau:

\(A = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\).

Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó số vi khuẩn \(N\) sau t (giờ) sẽ là \(N = 100 \cdot {2^{\frac{t}{2}}}\) (con). Hỏi sau \(3\frac{1}{2}\) giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài \(L\)(tính bằng mét) được cho bởi \(T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{{9,8}}} \). Nếu một con lắc có chiều dài \(19,6{\rm{m}}\), hãy tính chu kì \(T\)của con lắc này (làm tròn kết quả đến chư số thập phân thứ nhất)?

Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo \(p\)(tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với 'Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bẳng lập phương của bán trục lớn d (tính bằng đơn vị thiên văn \({\rm{AU}}\)).

a) Tính \(p\) theo \(d\).

b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trải Đất, hãy tinh bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).

Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là \(d = \sqrt[3]{{6{t^2}}}\), trong đó là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và là độ dài năm của hạnh tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008).

a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là \(687\) ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?

b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).

(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).