Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 7: Cấp số nhân

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tinh tổng số lượng mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

Cho dãy số (\(u_n\)) với \(u_n\)=3×n².

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_n−1

Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?

Cho dãy số (\(u_n\)) với \(u_n\)=2×\(5^n\). Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Cho cấp số nhân (\(u_n\)) với số hạng đầu \(u_1\) và công bội q

a) Tính các số hạng u₂,u₃,u₄,u₅ theo u₁ và q

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u₁ và q

Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Cho cấp số nhân (\(u_n\)) với số hạng đầu \(u_1\)=a và công bội q≠1

Để tính tổng của n số hạng đầu 

S_n=u₁+u₂+...+u_n−1+u_n

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u1 và q để biểu thức tính tổng S_n chỉ chứa u₁ và q

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q×S_n chỉ chứa u₁ và q

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1−q)S_n theo u₁ và q. Từ đó suy ra công thức S_n

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu S_n của nó bằng bao nhiêu?

Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng tăng thêm 5%

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người nông dân sẽ lớn hơn?

Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) 2, −1/2, 1/8,..

Viết năm số hạng đầu của dãy số (\(u_n\)) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số hân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng \(u_n=u_1×q^{n−1}\)

a) \(u_n=5n\)

b) \(u_n=5^n\)

c) \(u_1=1;u_n=nu_{n−1}\)

d) \(u_1=1,u_n=5u_{n−1}\)

Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này

Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0.91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030

Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp

Chứng minh rằng mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó:

a) \({u_n} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\);

b) \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\);

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân 64; -32; 16; -8;…?

Cho một cấp số nhân với tất cả các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là \(\frac{{125}}{6}\). Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này?

Tìm x sao cho \(x,x + 2,x + 3\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?

Tính các tổng sau:

a) \(1 + 4 + 16 + 64 + ... + {4^9}\);

b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + ... + \frac{{{2^{12}}}}{3}\).

Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người bị lây bởi căn bệnh này?

Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Để tích lũy tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hằng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích lũy được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu?

Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy \({m^2} = p.q.\) Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số q và q, nếu ta tìm được k số khác \({m_1},{m_2},...,{m_k}\) sao cho \(p,{m_1},{m_2},...,{m_k},q\) lập thành một cấp số nhân, thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy:

a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;

b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.