Giải bài tập Toán 11 Chương Bài 3 Cấp số cộng

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:

a) \(u_n = 5 - 2n\);

b) \(u_n =\frac{n}{2}-1\);

c) \(u_n = 3^n\);

d) \(u_n =\frac{7-3n}{2}\)

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

a) \(\left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\).

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n.\)

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm.

a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Từ giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ

Cho dãy số (u_n) với u_n = 1 - 7n

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số ;

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số ;

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.

Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

 a) u_n = 3n − 1;

 b) u_n = 2ⁿ + 1;

 c) u_n = (n+1)² − n²;

 d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
{u_{n + 1}} = 1 - {u_n}
\end{array} \right.\)

Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết :

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2{u_5} = 0\\
{S_4} = 14
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} = 10\\
{u_7} = 19
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 7
\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_1} = 75
\end{array} \right.\)

Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\\
{a_2} + {a_{2n}} = 42
\end{array} \right.\)

 Tìm cấp số cộng (u_n) biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\
u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}
\end{array} \right.\)

Tìm x từ phương trình

a) 2 + 7 + 12 + ... + x = 245, biết 2, 7, 12, ..., x là cấp số cộng.

b) (2x + 1) + (2x + 6) + (2x + 11) + ... + (2x + 96) = 1010 biết 1, 6, 11, ... là cấp số cộng.

Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau:

A. \({u_n} = {2^n} + 1\)

B. \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{n}\)

C. \(u_n=5n\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

Cho cấp số cộng u₁ = -2; u₁₉ = 52. Tổng của 20 số hạng đầu là:

A. 1060         B. -570         C. 530         D. -530

Cho cấp số cộng 5, x, y, 17. Khi đó:

A. x = 9; y = 12            B. x = 8; y = 14

C. x = 7; y = 12            D. x = 9; y = 13

Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:

a. Dãy số (u_n) với u_n = 19n–5;

b. Dãy số (u_n) với u_n = an+b, trong đó a và b là các hằng số.

Trên tia Ox lấy ác điểm A₁, A₂, …, A_n,… sao cho mỗi số nguyên dương n, OA_n = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OA_n, n=  1,2,… Kí hiệu là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA₁ và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu u_n là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA_{n -1} , nửa đường tròn đường kính OA_n và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :

a. Mỗi cấp số cộng với công sai d>0d>0 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm.

b. Mỗi cấp số cộng với công sai d<0d<0 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm.

Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.

Cho cấp số cộng (u_n) có u₂₀ = − 52 và u₅₁ = − 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Cho cấp số cộng (u_n) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng u_m = u_k+(m−k)d.

Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (u_n) mà u₁₈ − u₃ = 75.

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁−u₃ = 6 và u₅ = −10. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Hãy chứng minh định lí 3.

Cho cấp số cộng (u_n) có u₂+u₂₂ = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.