Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 1: Dãy số

Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2,..., vị trí thứ tám viết số 21.

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?

Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang?

Hàm số \(u(n) = n^3\) xác định trên tập hợp \(M = {1; 2; 3; 4; 5}\) là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển?

Cho hàm số \(u(n) = \frac{1}{n}\), n ∈ ℕ*. Hãy viết các số \(u_{1}; u_{2};\) ...; \(u_{n}\); ... theo hàng ngang?

Cho dãy số \((u_{n}) = n^{2}\).

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số \((u_{n})\)?

b) Viết dạng khai triển của dãy số \((u_{n})\)?

Xét mỗi dãy số sau:

- Dãy số: \(1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100\) (1)

- Cho số \(\sqrt{2} =1,414213562\)... . Dãy số \((u_{n})\) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên \(n \ge 1\), \((u_{n})\) là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu “,” của số \(\sqrt{2}\). Cụ thể là: \(u_{1} = 1,4; u_{2} = 1,41; u_{3} = 1,414; u_{4} = 1,4142; u_{5} = 1,41421;\) ... (2)

- Dãy số \((u_{n})\) với \((u_{n}) = (– 2)^{n}\) (3)

- Dãy số \((u_{n})\) được xác định bởi: \(u_{1} = 1\) và \((u_{n}) = u_{n-1} + 2\) với mọi \(n \ge 2\) (4)

a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4)?

b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào?

Cho dãy số \((u_{n})\) với \(u_{n}=\frac{n-3}{3n+1}\). Tìm \(u_{33}, u_{333}\) và viết dãy số dưới dạng khai triển?

Cho dãy số \((u_{n})\) với  \(u_{n} = n^2\). Tính \(u_{n+1}\)? Từ đó, hãy so sánh \(u_{n+1}\) và \(u_{n}\) với mọi n ∈ ℕ^*?

Chứng minh rằng dãy số \((v_{n})\) với \(v_{n} = \frac{1}{3^{n}}\) là một dãy số giảm?

Cho dãy số \((u_{n})\) với \(u_{n} = 1+\frac{1}{n}\). Khẳng định  \(u_{n} \ge 2\) với mọi n ∈ ℕ* có đúng không?

Chứng minh rằng dãy số \((u_{n})\) với ${}_{}$\(u_n=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}\) là bị chặn?

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát \(u_n\) cho bởi công thức sau:

a) \(u_n = 2n^{2} + 1\);

b) \(u_n =~\) $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n-1}$ ;

c) \(u_n =~\) $\frac{2^n}{n}$ ;

d) \(u_n =1+~\)${\left(\frac{1}{n}\right)}^n$ .

a) Gọi \(u_n\) là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (\(u_n\))?

b) Gọi \(v_n\) là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (\(v_n\))?

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (\(u_{n}\)), biết:

a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$ ;

b) $u_n=\frac{3^n}{2^n.n!}$ ;

c) \(u_{n} = (– 1)^{n}.(2^{n} + 1)\)

Trong các dãy số (\(u_{n}\)) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) \(u_{n} = n^{2} + 2\);

b) \(u_{n} = – 2n + 1\);

c) $u_n=\frac{1}{n^2+n}$.

Cho dãy số thực dương (\(u_{n}\)). Chứng minh rằng dãy số (\(u_{n}\)) là dãy số tăng khi và chỉ khi \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>1\) với mọi n ∈ ℕ*?

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là \(0,5%\) một tháng. Gọi \(P_{n}\) (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng?

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng?

c) Dự đoán công thức của \(P_{n}\) tính theo n?

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 2\) và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với mọi \(n \ge 2\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:

A. \(2;{\rm{ 1; }}\frac{3}{2}\)

B. \(2;{\rm{ }}\frac{3}{2}{\rm{; }}\frac{5}{2}\)

C. \(2;{\rm{ }}\frac{3}{2}{\rm{; }}\frac{5}{4}\)

D. \(2;{\rm{ }}\frac{3}{2};{\rm{ 2}}\)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Số hạng \({u_{10}}\) là:

A. \(\frac{{19}}{{12}}\)

B. \(\frac{{33}}{{34}}\)

C. \(\frac{{199}}{{102}}\)

D. \(\frac{3}{4}\)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{3n - 2}}\). Với \({u_k} = \frac{8}{{19}}\) là số hạng của dãy số thì \(k\) bằng:

A. 8

B. 7

C. 9

D. 6

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = {3^n}\). Số hạng \({u_{n + 1}}\) bằng:

A. \({3^n}.3\)

B. \({3^n} + 3\)

C. \({3^n} + 1\)

D. \(3\left( {n + 1} \right)\)

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\)

B. \({u_n} = {n^3}\)

C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)

D. \({u_n} = \sqrt n \)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos n\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số bị chặn

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên

Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = 3n - 1\)?

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 2\) và \({u_n} = \sqrt {2 + u_{n - 1}^2} \) với mọi \(n \ge 2\). Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\)?

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2{x^2} + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), gọi \({A_n}\) là giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(x = n\). Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n}\) là tung độ của \({A_n}\). Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\)?

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\).

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:

a) \({u_n} = 2n + 3\)

b) \({u_n} = {3^n} - n\)

c) \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\)

d) \({u_n} = \sin n\)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) với \(a\) là số thực. Tìm \(a\) để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng?

Chứng minh rằng:

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \) bị chặn dưới.

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - {n^2} - n\) bị chặn trên.

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) bị chặn.

Với mỗi số nguyên dương \(n\), lấy \(n + 6\) điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như hình vẽ. Gọi \({u_n}\) là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\)?