Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đạo hàm

a) y = 2x² + x + 1 tại x₀ = 2.

b) $y=\sqrt{2x+1}$ tại x₀ = 1.

c) $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại x₀ = 3.

 

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀ = 2.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$

$=2{\left(2+\Delta x\right)}^2+\left(2+\Delta x\right)+1-\left({2.2}^2+2+1\right)$

$=8+8\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2+2+\Delta x+1-11$

$9\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2$$=\Delta x\left(9+2\Delta x\right)$

Ta có $f\text{'}\left(2\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x\left(9+2\Delta x\right)}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(9+2\Delta x\right)=9$.

 

b) Cách 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀ = 1.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$$=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)$

$=\sqrt{2(1+\Delta x)+1}-\sqrt{3}$$=\frac{2\Delta x}{\sqrt{3+2\Delta x}+\sqrt{3}}$

Ta có $f\text{'}\left(1\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{3+2\Delta x}+\sqrt{3}\right)}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{3+2\Delta x}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

 

c) Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀ = 3.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=f\left(3+\Delta x\right)-f\left(3\right)$

$=\frac{2(3+\Delta x)-1}{3+\Delta x+1}-\frac{5}{4}$$=\frac{5+2\Delta x}{4+\Delta x}-\frac{5}{4}$$=\frac{3\Delta x}{4(4+\Delta x)}$

Ta có $f\text{'}\left(3\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3\Delta x}{\Delta x.4(4+\Delta x)}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3}{4(4+\Delta x)}=\frac{3}{16}$.