Thực hành 6 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Phương pháp giải

Bước 1: Viết phương trình tổng quat của các đường thẳng AB, AC, BC

Bước 2: Đường của kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC (tương tự các đường cao còn lại)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2} \right)\)

+) Đường thẳng AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 4} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;1)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

\(\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ C chính là khoảng cách từ điểm C  đến đường thẳng AB

\(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {4 - 4.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{{9\sqrt {17} }}{{17}}\)

+) Đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) và đi qua điểm \(B(5;2)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

\(2\left( {x - 5} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 12 = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A  đến đường thẳng BC

\(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\)

+) Đường thẳng AC  nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;1)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AC  là:

\(\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ B chính là khoảng cách từ điểm B  đến đường thẳng AC

\(d\left( {B,AC} \right) = \frac{{\left| {5 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

-- Mod Toán 10 HỌC247